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Solución:
Puede usar integrales dobles y triples al calcular un volumen. Déjame explicarte usando un ejemplo para calcular un área, lo mismo se aplica al volumen.
Digamos que está buscando encontrar el área bajo una curva $f(x)>0$ sobre el dominio de integración. Debes haber aprendido que: $$A = int^a_bf(x)dx$$
Lo que estás haciendo es básicamente sumar infinitas franjas de longitud $f(x)$ y longitud base $dx$.
Ahora observe que los siguientes son iguales: $$int^a_bint_0^f(x) dtdx = int^a_bf(x)dx = A$$
Entonces, para calcular el área, puedo usar integrales simples y dobles. El segundo es simplemente un atajo. La primera integral suma infinitos pequeños cuadrados de dimensión $dttimes dx$ dentro de los límites especificados para $t$ y $x$.
Similarmente para encontrar volúmenes: $$intintint^f(x,y)_0dtdxdy = intint f(x,y)dxdy$$
La única diferencia es que la integral triple es un enfoque más básico en el sentido de que realmente lo haces cubo pequeño por cubo pequeño. La integral doble es un atajo.
Considere un rectángulo con lados $a, b, c$. Su volumen es $int_0^a int_0^b int_0^c 1$ o $int_0^a int_0^bc$ o $int_0^a bc$. La misma lógica se puede aplicar a cualquier otra forma. El volumen es una integral simple del área de la sección transversal o una integral doble de la altura.
Sin embargo, tenga en cuenta que esta no es la única forma de dividir formas. Por ejemplo, podrías encontrar el volumen de una esfera al integrar sobre las superficies de todas las esferas dentro de ella con el mismo centro.
El volumen $rm vol(B)$ de algún cuerpo $Bsubsetmathbb R^3$ es por su naturaleza un triple integral: $$rm vol(B)=intnolimits_B 1 rm d(x,y,z) .$$ El teorema de Fubini permite calcular esta integral recursivamente en términos de simple, resp. dobles, integrales sobre ciertos intervalos o dominios bidimensionales. Dependiendo de la forma en que se defina $B$, algunas de las “integrales internas” que aparecen de esta forma pueden ser gratuitas, como en los siguientes ejemplos:
Cuando $B$ es un cuerpo de rotación alrededor del eje $z$ con curva meridiana $rho=rho(z)$ $>(aleq zleq b)$, es decir, $$B:= (x,y,z)> ,$$ entonces obtenemos dos “integrales internas” gratis y obtenga $$rm vol(B)=piint_a^brho^2(z) dz .$$
Cuando $B$ es un “pastel” de altura variable $h(x,y)$ sobre un dominio $B’$ en el plano $(x,y)$, entonces su volumen aparece como una integral doble $$ rm vol(B)=intnolimits_B’ h(x,y) rm d(x,y) .$$ Aquí hemos obtenido la integral más interna $int_0^h (x,y) dz=h(x,y)$ gratis.
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