Solución:
Suponga que su grupo es $ G $ y el subgrupo es $ H $. Por definición $ gH $ = {$ gh $ | $ h in H $} es una clase lateral izquierda de $ H $ con respecto a $ g $, en $ G $ y $ Hg $ = {$ hg $ | $ h in H $} es una clase lateral derecha de $ H $ con respecto a $ g $, en $ G $. Aquí su grupo es $ S_4 $ = {$ (), (3,4), (2,3), (2,3,4), (2,4,3), (2,4), (1, 2), (1,2) (3,4), (1,2,3), (1,2,3,4), (1,2,4,3), (1,2,4), (1,3,2), (1,3,4,2), (1,3), (1,3,4), (1,3) (2,4), (1,3,2, 4), (1,4,3,2), (1,4,2), (1,4,3), (1,4), (1,4,2,3), (1,4) (2,3) $}, y $ H $ es como señaló. Según la teoría de grupos, el número de clases laterales derechas de un subgrupo en su grupo llamado índice es $ frac {| G |} {| H |} $. $ | S_4 | = 4! $ Y $ | H | = | langle (1,2), (3,4) rangle | = 4 $ así que tienes al final $ frac {4!} {4} = 6 $ cosets derecha o izquierda para el subgrupo. Aquí no importa qué $ g $ se tomen en el grupo $ G $. Por ejemplo, si toma $ (1,2,4,3) $ en el grupo, entonces $ (1,2,4,3) H $ = {$ (1,2,4,3) (), (1 , 2,4,3) (1,2), (1,2,4,3) (3,4), (1,2,4,3) (1,2) (3,4) $}. Espero poder ayudar.
Tomemos, por ejemplo, $ , pi: = (123) , $: $$ pi (1) = pi ,, , pi (12) = (13) ,, , pi (34 ) = (1234) ,, , pi (12) (34) = (134) Longrightarrow pi H = {(123), , (13), , (1234), , (134 ) } $$
Ahora intenta encontrar $ , H pi , $, y comprueba si puedes encontrar ejemplos de $ , pi sigma ^ {- 1} en H , $, desde entonces
$ , pi H = sigma H , $ y puede ahorrar bastante tiempo.