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Solución:
La fórmula de Heron para el triángulo es
$$A =raíz cuadradas(sa)(sb)(sc)$$
dónde $s=frac p2$. Luego, aplique la desigualdad AM-GM para obtener
$$A =sqrts(sa)(sb)(sc) le left[ s left( frac3s-(a+b+c)3 right) ^3right]^1/2 = fracs^23sqrt3=fracp^212sqrt3$$
donde la igualdad, o el área máxima, ocurre en $a=b=c=frac p3$.
Solo por dar otra forma de deducir una solución. tomar un cerrado string y dejando un lado fijo, digamos $a$, del triángulo dibuja una elipse como de costumbre. Es evidente que el triángulo de mayor área se da con un triángulo isósceles porque tiene la misma base que todos pero tiene una altura mayor (en realidad un semieje vertical de la elipse).
Ahora el área de este triángulo isósceles es $A=dfrac a4sqrt(2b)^2-a^2$ pero a causa de
$a+2b=p$ tenemos una función de $a$llámalo $x$definido por
$$A=frac x4sqrtp^2-2px$$ La derivada de A es igual a $$A’=fracp^2-3px4sqrtp^2-2px$$ vemos que se toma el área máxima cuando $a=dfrac p3$ después $b=dfrac p3$ también.
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