Luego de de una larga compilación de datos resolvimos esta dificultad que presentan ciertos los lectores. Te dejamos la respuesta y nuestro objetivo es serte de mucha apoyo.
Solución:
Esta es una respuesta parcial. Voy a derivar las ecuaciones satisfechas por el centro de las elipses deseadas. A partir de este momento, resolver las ecuaciones con cualquier cosa no numérica está fuera de alcance. El resultado principal es
El centro se encuentra en la intersección de dos curvas algebraicas, una cúbica y otra cuártica.
Para evitar conflictos con otros usos de la variable $ a, b $. usaré $ alpha, beta $ para denotar el eje semi-mayor / semi-menor para la elipse deseada.
resultado principal – el centro se encuentra en la intersección de una curva cúbica y una cuártica.
Primero, determinemos la condición para que el origen sea tal centro. Si $ theta $ es el ángulo entre el semieje mayor con el $ x $-eje La ecuación de la elipse será
$$ begin align & small frac (x cos theta + y sin theta) ^ 2 alpha ^ 2 + frac (- x sin theta + y cos theta) ^ 2 beta ^ 2 = 1 \ iff & small left ( frac cos ^ 2 theta alpha ^ 2 + frac sin ^ 2 theta beta ^ 2 right) x ^ 2 + left ( frac sin ^ 2 theta alpha ^ 2 + frac cos ^ 2 theta beta ^ 2 right) y ^ 2 + left ( frac 1 alpha ^ 2 – frac 1 beta ^ 2 right) sin (2 theta) xy = 1 \ iff & small frac12 left ( frac 1 alpha ^ 2 + frac 1 beta ^ 2 right) (x ^ 2 + y ^ 2) + frac12 left ( frac 1 alpha ^ 2 – frac 1 beta ^ 2 right) left ((x ^ 2-y ^ 2) cos (2 theta) + 2xy sin (2 theta) right) = 1 end align $$
Dejar $ epsilon = frac sqrt alpha ^ 2- beta ^ 2 alpha $ ser la excentricidad de la elipse y definir $ sigma $ y $ lambda $ por
$$ frac 1 sigma ^ 2 = frac12 left ( frac1 alpha ^ 2 + frac 1 beta ^ 2 right) quad text y quad lambda = frac alpha ^ 2- beta ^ 2 alpha ^ 2 + beta ^ 2 = frac epsilon ^ 2 2- epsilon ^ 2 $$
$ sigma $ y $ lambda $ será una medida alternativa del tamaño y excentricidad de la elipse. En particular, para que la cónica anterior sea una elipse, necesitamos $ 0 le epsilon <1 iff 0 le lambda <1 $. En términos de ellos, la ecuación anterior se convierte en
$$ frac 1 sigma ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) – frac lambda sigma ^ 2 left[(x^2-y^2)cos(2theta)+2xysin(2theta)right] = 1 $$
Para cualquier $ p = (x, y), q = (x ‘, y’) in mathbb R ^ 2 $, definir
- $ tilde p = (-y, x) $, la imagen de $ p $ después de $ 90 ^ circ $ Rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj.
- $ p cdot q = xx ‘+ y y’ ; $ Ser un producto de puntos 2-d ordinario.
- $ p veces q stackrel def = tilde p cdot q = xy ‘- y x’ ; $ ser el “producto cruzado” para números bidimensionales.
- $ U (p) = begin bmatrix x ^ 2 + y ^ 2 \ x ^ 2 – y ^ 2 \ 2xy end bmatrix $
y $ V (p) = U ( tilde p) = begin bmatrix x ^ 2 + y ^ 2 \ -x ^ 2 + y ^ 2 \ -2xy end bmatrix $
En términos de ellos, la ecuación de 3 puntos $ A, B, C $ estar en la elipse centrada en el origen es
$$ Lambda cdot U (A) = Lambda cdot U (B) = Lambda U (C) = 1 quad text donde quad Lambda = frac 1 sigma ^ 2 begin bmatrix 1 \ – lambda cos (2 theta) \ – lambda sin (2 theta) end bmatrix $$
Con un poco de álgebra vectorial, podemos resolver las tres ecuaciones anteriores para obtener
$$ Lambda = frac U (A) times U (B) + U (B) times U (C) + U (C) times U (A) U (A) cdot (U (B) veces U (C)) $$
No es difcil verificar el $ U ( cdot), V ( cdot) $ satisfacer las siguientes identidades
- $ U (P) cdot U (Q) = V (P) cdot V (Q) = 2 (P cdot Q) ^ 2 $.
- $ U (P) cdot V (Q) = V (P) cdot U (Q) = 2 (P times Q) ^ 2 $.
- $ U (P) times U (Q) = 2 (P times Q) left[Vleft(fracP+Q2right)-Vleft(fracP-Q2right)right]PS
Usando estas identidades, el denominador se simplifica a
$$ small begin align & U (A) cdot (U (B) times U (C)) \ = & 2 (B times C) , U (A) times left[Vleft(fracB+C2right) – Vleft(fracB-C2right)right]\ = & 2 (B times C) left[ 2left(A times fracB+C2right)^2 – 2left(A times fracB-C2right)^2right]\ = & -4 (B times C) (C times A) (A times B) end align $$
Dejar $ Delta $ ser el área de $ triángulo ABC $ y $ u, v, w $ ser las coordenadas baricéntricas del origen con respecto a $ triángulo ABC $. Tenemos
$$ 2 Delta u = B times C, quad 2 Delta v = C times A quad text y quad 2 Delta w = A times B $$
Encontramos que el denominador es igual a $ -32 Delta ^ 3 uvw $.
Hacer algo similar al numerador y dejar $ D, E, F $ ser el punto medio de $ BC, CA $ y $ AB $, el numerador se convierte en
$$ small 4 Delta left[ u (V(D) – V(E-F)) + v(V(E) – V(F-D)) + w(V(F)-V(D-E)) right]$$
Esto es un poco torpe de escribir. Usemos la notación $ sum_ cyc $ para indicar una suma cíclica de sobre el conjunto de parámetros
$$ u a v a w, quad A a B a C quad text y quad D a E a F $$
En esta nueva notación, la ecuación para $ Lambda $ se convierte en
$$ Lambda = – frac 1 8 Delta ^ 2 uvw sum_ cyc u (V (D) – V (EF)) $$
Cambie a otro sistema de coordenadas donde el centro, llamémoslo $ Z $, ya no es el origen, la ecuación para el centro se convierte en
$$ Lambda = – frac 1 8 Delta ^ 2 uvw sum_ cyc u (V (ZD) – V (EF)) tag * 1 $$
Para continuar, haremos dos cosas.
-
Cambiaremos a un sistema de coordenadas donde $ N $, el centro de nueve puntos de $ triángulo ABC $ es el origen. En este sistema de coordenadas, $ D, E, F $ estará acostado en un círculo centrado en el origen $ N $ con radio $ frac R 2 $ ($ R $ es el circunradio de $ triángulo ABC $).
-
Identificaremos el plano euclidiano con el plano complejo, usaremos la letra minúscula para denotar el número complejo que corresponde a un punto. p.ej $ Z $ se convierte en $ z $ y $ D, E, F $ volverse $ d, e, f $.
Después de esto, podemos reprimir $ (* 1) $ como dos ecuaciones
$$ begin align Lambda_1 = frac 1 sigma ^ 2 & = – frac 1 8 Delta ^ 2 uvw sum_ cyc u (| zd | ^ 2 – | e – f | ^ 2) tag * 2a \ Lambda_2 + i Lambda_3 = – frac lambda sigma ^ 2 e ^ 2i theta & = + frac 1 8 Delta ^ 2 uvw sum_ cyc u ((zd) ^ 2 – (e – f) ^ 2) tag * 2b end align $$
Dejar $ o = d + e + f $ (el punto que le corresponde es el circuncentro $ O $ de $ triángulo ABC $) y $ u ‘, v’, w ‘$ la coordenada baricéntrica de $ Z $ con respecto a $ triángulo DEF $. Tenemos
$$ u = frac 1-u ‘ 2, cdots implica sum_ cyc ud = frac12 sum_ cyc (1-u’) d = frac12 (oz) $$
Aviso
$$ begin align | zd | ^ 2 – | ef | ^ 2 & = | zd | ^ 2 + | e + f | ^ 2 – 2 | e | ^ 2 – 2 | f | ^ 2 \ & = | zd | ^ 2 + | od | ^ 2-4 | d | ^ 2 \ & = | z | ^ 2 -d ( overline z + o) – bar d (z + o) + | o | ^ 2 – 2 | d | ^ 2 end align $$
Multiplicar por $ u $ y tomamos suma cíclica, obtenemos
$$ begin align sum_ cyc u (| zd | ^ 2 – | ef | ^ 2) = & | z | ^ 2 – frac (o – z) ( overline z + o ) 2 – frac ( overline oz) (z + o) 2 + | o | ^ 2 – 2 | d | ^ 2 \ = & 2 | z | ^ 2 – frac R ^ 2 2 end align $$
Ecuación $ (* 2a) $ se convierte en
$$ bbox[border:1px solid blue;padding: 1em;]z bar z – frac R ^ 2 4 + frac 4 Delta ^ 2 uvw sigma ^ 2 = 0 tag * 3a $$
Ya que $ u, v, w $ son lineales en $ (x, y) = ( Re z, Im z) $. Esto describe una curva cúbica en el plano euclidiano y es el lugar geométrico del centro cuando el parámetro de tamaño $ sigma $ se mantiene fijo.
Dejar $ Omega = frac def = frac 4def R ^ 2 $. Por un procedimiento similar, tenemos
$$ begin align (zd) ^ 2 – (ef) ^ 2 & = (z-d + e + f) (zdef) = (z-o + 2e) (z-o + 2f) \ & = (zo) ^ 2 + 2 (e + f) (zo) + 4ef \ & = z ^ 2 – o ^ 2 – 2d (zo) + 4 Omega bar d end align $$
Multiplicar por $ u $ y tomamos suma cíclica, obtenemos
$$ begin align sum_ cyc u ((zd) ^ 2 – (ef) ^ 2) & = z ^ 2 – o ^ 2 – (oz) (zo) + 2 Omega ( bar o – bar z) \ & = 2 left (z (zo) – Omega ( bar z – bar o) right) end align $$
Ecuaciones $ (* 2b) $ se convierte en
$$ z (zo) – Omega ( bar z – bar o) = – lambda e ^ 2i theta frac 4 Delta ^ 2 uvw sigma ^ 2 $ PS
Compare esto con la ecuación $ (* 3a) $, obtenemos
$$ z (zo) – Omega ( bar z – bar o) = lambda e ^ 2i theta left (z bar z – frac R ^ 2 4 derecha) $$
Tomando valor absoluto y cuadrado, obtenemos una curva cuártica
$$ bbox[border:1px solid blue;padding: 1em] tag * 3b $$
Este es el lugar del centro cuando la excentricidad $ epsilon $ es ayuda arreglada.
observación yo – lugar para $ sigma $.
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Todo locus de $ sigma $ atravesar $ D, E, F $ y los tres pies de $ triángulo DEF $.
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Cuando el ortocentro $ H $ de $ triángulo ABC $ pertenece al interior de $ triángulo DEF $. $ sigma $ toma un mínimo local en $ H $. Esto debería corresponder a un circuito especial asociado con $ triángulo ABC $. No puedo entender qué es eso. Alguien tiene alguna idea?
observación II – lugar para $ lambda $.
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Cuando $ epsilon = 0 implica lambda = 0 $, el locus se reduce a un solo punto $ O $. El circuncentro de $ triángulo ABC $.
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Cuando $ epsilon = 1 implica lambda = 1 $, los términos cuárticos en la ecuación. ($ * 3b $) cancelar. La curva correspondiente reduce una unión de $ 3 $ líneas a través de los puntos medios. es decir, las líneas $ DE $, $ EF $ y $ FD $.
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Estas $ 3 $ las líneas dividen el avión en $ 7 $ regiones. Cuando uno varía $ epsilon $ (y por lo tanto $ lambda $) de $ 0 $ para $ 1 $. El locus barre el interior de
$ 4 $ fuera de $ 7 $ regiones ( $ triángulo DEF $ o la $ 3 $ cono con ápice en $ D, E, F $). Esto significa que para que un punto sea el centro de una elipse, debe ser $ D, E, F $ o pertenece al interior de arriba $ 4 $ regiones. -
Infinitamente muchos loci de $ lambda $ que pasa a través $ D, E, F $. Combinar con la observación $ I_1 $, $ D, E, F $ son centros para infinitos circuitos de $ A, B, C $.
¿¿¿Continuará???
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