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Solución:
$ hspace1in $ 
Sean $ a, b, c $ los 3 ángulos de la base (de izquierda a derecha) y $ h $ la altura del triángulo.
Tenemos $$ h = 6 tan a = 3 tan b = tan c $$
Dado que $ c $ es un ángulo externo para el triángulo blanco en el medio, $ c = a + b $ y por lo tanto $$ tan a = tan (cb) = frac tan c – tan b 1 + tan c tan b = frac 4 tan a 1 + 12 tan ^ 2 a imp tan a = frac12 means h = 3 $$ Entonces el área del área sombreada es $ frac12 (3 + 1) (3) = 6 $.
Sea $ h $ la altura de los triángulos. Entonces el área del triángulo grande es $$ Delta _ text large = frac 1 2 times 6 times sqrt h ^ 2 + 36 times sin a $$ y el área del triángulo blanco es $$ Delta _ text white = frac 1 2 times sqrt h ^ 2 + 1 times sqrt h ^ 2 + 9 veces sin a $$
Pero como el triángulo grande tiene la misma altura que el triángulo blanco, pero tres veces su base, tenemos $ Delta _ text large = 3 Delta _ text white $. Entonces, $$ 2 sqrt h ^ 2 + 36 = sqrt h ^ 2 + 1 sqrt h ^ 2 + 9 $$ Al cuadrar ambos lados y simplificar, se obtiene $$ h ^ 4 + 10h ^ 2 + 9 = 4h ^ 2 + 144 $$ $$ Rightarrow (h ^ 2 + 15) (h ^ 2-9) = 0 $$ Entonces $ h = 3 $, y el área sombreada es $ 6 $.
Prueba sin palabras:
$ hspace 3cm $
$$ frac gh = frac 2 sqrt h ^ 2 + 9 = frac sqrt h ^ 2 + 1 sqrt h ^ 2 + 36 Flecha derecha h ^ 4 + 6h ^ 2-135 = 0 Flecha derecha h = 3. $$ $$ S = frac12 (3 + 1) 3 = 6. $$
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