Esta pregunta se puede solucionar de diferentes formas, pero nosotros te dejamos la solución más completa en nuestra opinión.
Solución:
Es más fácil resolver esta pregunta usando puntos paramétricos.
Sea un vértice del rectángulo $(acostheta,bsintheta)$.
Los otros vértices son $(acostheta,-bsintheta)$, $(-acostheta,bsintheta)$, $(-acostheta,-b sentheta)$
El área del rectángulo formado es $$A(theta)=4abcosthetasintheta=2absin2theta$$
El área máxima es $2ab$ y ocurre cuando $theta=fracpi4$ (o cuando $sin2theta$ es máximo).
Cuando $theta=fracpi4$, $x$-coordenada $=acosfracpi4=fracasqrt2$
Tu error está aquí $$ A'(x) = 4(sqrt b^2 – fracb^2x^2a^2) +colorredfrac12 times4x izquierda( (b^2 – fracb^2x^2a^2)^frac-12 times frac-2b^2xa^2 Correcto). $$
Sea la ecuación de la elipse
$$ fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1$$
Resolviendo para y
$$ y = sqrt b^2 – fracb^2x^2a^2 $$
Sea el área de un rectángulo $4xy$
$$ A = 4xy $$
$$ A = 4x(sqrt b^2 – fracb^2x^2a^2) $$
$$ A'(x) = 4(sqrt b^2 – fracb^2x^2a^2) + 4xleft( (b^2 – fracb^2x^ 2a^2)^frac-12 times frac-b^2xa^2 right) $$
$$ A'(x) = 4sqrt b^2 – fracb^2x^2a^2 + frac-4x^2b^2sqrt b^2 – fracb^2x^2a^2a^2 = 0 $$
$$ 4a^2left(b^2 – fracb^2x^2a^2 right) – 4x^2b^2 = 0 , sqrt b^2 – fracb^ 2x^2a^2a^2 neq 0 $$
$$ 4a^2left(b^2 – fracb^2x^2a^2 right) – 4x^2b^2 = 0 $$
$$ 4a^2b^2 – 4b^2x^2 – 4x^2b^2 = 0 $$
$$ 4a^2b^2 – 8x^2b^2 = 0 $$
$$ 8x^2b^2 = 4a^2b^2 $$
$$ x^2 = fraca^22 $$
$$ x = fracasqrt2 , x>0 $$
El error está en el tercer paso al diferenciar.
diferenciar $sqrt x$ te dará $frac12sqrt x$
Agradecemos que desees añadir valor a nuestra información dando tu experiencia en las anotaciones.