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Encontrar el área máxima de un rectángulo en una elipse

Esta pregunta se puede solucionar de diferentes formas, pero nosotros te dejamos la solución más completa en nuestra opinión.

Solución:

Es más fácil resolver esta pregunta usando puntos paramétricos.

Sea un vértice del rectángulo $(acostheta,bsintheta)$.

Los otros vértices son $(acostheta,-bsintheta)$, $(-acostheta,bsintheta)$, $(-acostheta,-b sentheta)$

El área del rectángulo formado es $$A(theta)=4abcosthetasintheta=2absin2theta$$

El área máxima es $2ab$ y ocurre cuando $theta=fracpi4$ (o cuando $sin2theta$ es máximo).

Cuando $theta=fracpi4$, $x$-coordenada $=acosfracpi4=fracasqrt2$

Tu error está aquí $$ A'(x) = 4(sqrt b^2 – fracb^2x^2a^2) +colorredfrac12 times4x izquierda( (b^2 – fracb^2x^2a^2)^frac-12 times frac-2b^2xa^2 Correcto). $$

Sea la ecuación de la elipse

$$ fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1$$

Resolviendo para y

$$ y = sqrt b^2 – fracb^2x^2a^2 $$

Sea el área de un rectángulo $4xy$

$$ A = 4xy $$

$$ A = 4x(sqrt b^2 – fracb^2x^2a^2) $$

$$ A'(x) = 4(sqrt b^2 – fracb^2x^2a^2) + 4xleft( (b^2 – fracb^2x^ 2a^2)^frac-12 times frac-b^2xa^2 right) $$

$$ A'(x) = 4sqrt b^2 – fracb^2x^2a^2 + frac-4x^2b^2sqrt b^2 – fracb^2x^2a^2a^2 = 0 $$

$$ 4a^2left(b^2 – fracb^2x^2a^2 right) – 4x^2b^2 = 0 , sqrt b^2 – fracb^ 2x^2a^2a^2 neq 0 $$

$$ 4a^2left(b^2 – fracb^2x^2a^2 right) – 4x^2b^2 = 0 $$

$$ 4a^2b^2 – 4b^2x^2 – 4x^2b^2 = 0 $$

$$ 4a^2b^2 – 8x^2b^2 = 0 $$

$$ 8x^2b^2 = 4a^2b^2 $$

$$ x^2 = fraca^22 $$

$$ x = fracasqrt2 , x>0 $$

El error está en el tercer paso al diferenciar.

diferenciar $sqrt x$ te dará $frac12sqrt x$

Agradecemos que desees añadir valor a nuestra información dando tu experiencia en las anotaciones.

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