Mantén la atención ya que en esta reseña hallarás la solución que buscas.
Solución:
En una familia con 2 hijos hay cuatro posibilidades:
1) el primer hijo es un niño y el segundo hijo es un niño (bb)
2) el primer hijo es un niño y el segundo hijo es una niña (bg)
3) el primer hijo es una niña y el segundo hijo es un niño (gb)
4) el primer hijo es una niña y el segundo hijo es una niña (gg)
Como sabemos que al menos un hijo es niña, hay tres posibilidades: bg, gb o gg. De esas tres posibilidades, la única con dos niñas es gg. Por lo tanto, la probabilidad es $frac13$.
Creo que esta pregunta confunde a mucha gente porque hay una falta de contexto intuitivo. Intentaré proporcionar eso.
Supongamos que hay una fiesta de cumpleaños a la que están invitadas todas las niñas (y ninguno de los niños) en un pueblo pequeño. Si te encuentras con una madre que ha dejado a un niño en esta fiesta de cumpleaños y que tiene dos hijos, la probabilidad de que tenga dos niñas es de $1/3$. ¿Por qué? $3/4$ de las madres con dos hijos tendrán una hija en la fiesta de cumpleaños, las de dos niñas ($1/4$ del total de madres con dos hijos) y las de una niña y un niño ($1/2 $ del total de madres con dos hijos). De estos $3/4$ de las madres, $1/3$ tienen dos niñas.
Por otro lado, si la fiesta de cumpleaños es solo para niñas de quinto grado, obtienes una respuesta diferente. Suponiendo que no haya hermanos que estén ambos en quinto grado, la respuesta en este caso es $1/2$. El niño de quinto grado es una niña, pero el otro niño tiene una probabilidad de $1/2$ de ser una niña. Las situaciones de este tipo surgen en la vida real con mucha más frecuencia que las situaciones del otro tipo, por lo que la respuesta de $1/3$ no es intuitiva.
Creo que la razón por la que estos acertijos son tan confusos es que se basan en las limitaciones del idioma inglés más que en las dificultades matemáticas. Por supuesto, esto no es exclusivo del inglés, y creo que debería poder encontrar acertijos similares en casi cualquier idioma natural.
Aquí hay un ejemplo que resalta la dificultad más claramente. Primero, considere el siguiente rompecabezas similar:
- Una familia tiene dos hijos, Robin y Lindsay. Lindsay es una niña. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos niños sean niñas?
En clase de probabilidad elemental te enseñan a contestar haciendo una tabla de las cuatro opciones
Robin Lindsay B B * B G G B * G G
Las filas destacadas son aquellas en las que Lindsay es una niña, y calculamos a partir de ellas que la probabilidad de que ambos niños sean niñas es 1/2.
Ahora considere este rompecabezas
- Una familia tiene dos hijos, Robin y Lindsay. Al menos uno de ellos es una niña. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos niños sean niñas?
El método de probabilidad elemental da la siguiente tabla y una probabilidad de 1/3. La diferencia es que ganamos una fila más, respecto al puzzle anterior.
Robin Lindsay B B * B G * G B * G G
Después de mirar estos, puedes ver que la dificultad del rompecabezas original viene porque, en inglés, “uno de los niños” puede significar varias cosas diferentes:
-
“uno” puede significar “uno en particular”. Si lees el acertijo original así, se vuelve análogo al primer acertijo que escribí, y la respuesta será 1/2.
-
“uno” puede significar “al menos uno”. Si lees el acertijo original así, se vuelve análogo al segundo acertijo que escribí, y la respuesta es 1/3.
-
“uno” puede significar “exactamente uno”. Si lees el acertijo original así, la respuesta es 0.
Existe una convención común en matemáticas de que “uno” generalmente significa “al menos uno”. Por ejemplo, este es el sentido que se le da a la siguiente oración, que es un ejemplo típico del inglés matemático: “si un número natural $n$ es un múltiplo de un número primo $p$, y $n = ab$, entonces uno de $a$ y $b$ es divisible por $p$”. No interpretaríamos esto como si dijera que exactamente uno de $a$ y $b$ es divisible por $p$.
No creo que esta convención sea muy común en inglés no matemático. Si digo, “uno de mis hijos es una niña”, en inglés normal esto significa que el otro es un niño. Discrepancias similares entre el inglés matemático y el no matemático surgen con nuestro uso de la palabra “o” y nuestro uso de la frase “si/entonces”. Cuando enseñamos matemáticas, tenemos que dedicar tiempo a explicar este argot matemático a los estudiantes, para que puedan usar las mismas convenciones en inglés que usamos nosotros.
Los acertijos de probabilidad como el que está preguntando se basan en estas diferencias de significado en inglés, en lugar de cualquier problema lógico o matemático. En ese sentido, en realidad no son acertijos, son solo trucos.
Agradecemos que quieras añadir valor a nuestra información aportando tu experiencia en las críticas.