Solución:
En la segunda (¡pero no la tercera!) Edición de Goldstein, Mecanica clasica, la palabra transformación de contacto aparece en su índice, y hay una nota a pie de página de 13 líneas en la p. 382, que (entre otras cosas) establece
[…] En gran parte de la literatura de física, el término transformación de contacto se utiliza como sinónimo de transformación canónica, […]
Con respecto a la transformación canónica, consulte también esta publicación relacionada de Phys.SE.
Las transformaciones de contacto fueron descubiertas por Sophus Lie en el siglo XIX. Dentro de este contexto, una transformación de contacto infinitesimal homogénea (independiente del tiempo): $$ delta q ^ i = frac { Partical H} { Partical p_i} delta t, qquad delta p_i = – frac { Partical H } { parcial q ^ i} delta t $$ es una transformación de coordenadas que sale del sistema de ecuaciones: $$ Delta = begin {vmatrix} dp_1, dots, dp_n \ p_1, dots, p_n \ dq ^ 1, dots, dq ^ n end {vmatrix} = 0, qquad sum_ip_idq ^ i = 0 $$
invariante [1]. En este contexto podemos intercambiar contacto con canonical de acuerdo con la respuesta de Qmechanic.
En el contexto de la geometría diferencial, hacemos una distinción entre las transformaciones simplécticas en las variedades simplécticas $ dim (2n) $ y las transformaciones de contacto en las variedades de contacto $ dim (2n + 1) $. Esto extiende la formulación independiente del tiempo a un espacio de fase extendido (dependiente del tiempo). [2]
Ahora debemos cuidar cómo usamos la frase contacto.
Tanto en el marco simpléctico como en el de contacto, podemos definir una estructura canónica, $$ theta = pdq, qquad Theta = pdq-Hdt $$ respectivamente, que se vuelve invariante bajo sus respectivas transformaciones.
[1] Las transformaciones de contacto infinitesimales de la mecánica. Sophus Lie. 1889. Traducido por DH Delphenich.
[2] https://arxiv.org/pdf/1604.08266.pdf, Contact Hamiltonian Mechanics, Alessandro Bravettia, Hans Cruzb, Diego Tapias, 2016