Solución:
Creo que la gráfica de $ r = a sin (2 theta) $ debería tener solo dos pétalos. No está mal dibujar cuatro pétalos si define $ r $ negativo, como $ (r, theta) = (-r, theta + pi) $ si $ r <0 $. El problema con esta definición es que las coordenadas polares ya no son una biyección. El mismo punto en coordenadas cartesianas tendrá dos coordenadas polares diferentes. Esto no es un problema si solo desea dibujar gráficos, pero es un problema serio en aplicaciones más avanzadas de Cálculo. Por ejemplo, no puede usar este cambio de coordenadas en una integral doble si la transformación no es biyectiva (el punto $ r = 0 $ no es un problema porque es un conjunto con medida $ 0 $).
Creo que todos estarán de acuerdo en que $ r = 2 cos ( theta) $ es un círculo. Si permite $ r $ negativos, dibujará cada punto del círculo dos veces. Esto no es un problema si solo está graficando, pero si desea la longitud del arco, puede obtener el doble de la respuesta correcta.
Ahora volvamos a $ r = a sin (2 theta) $ y veamos la ecuación cartesiana correspondiente.
$ r = a sin (2 theta) = 2 a cos theta sin theta $.
Multiplicando cada lado por $ r ^ 2 $ obtenemos
$ r ^ 3 = 2 a (r cos theta) (r sin theta) $,
que en coordenadas cartesianas es
$ (x ^ 2 + y ^ 2) ^ { frac32} = 2 axy $.
Dado que el lado izquierdo es positivo, solo debe dibujar puntos si $ 2axy geq 0 $, por lo que solo en el primer y tercer cuadrante si $ a> 0 $. Si cuadramos ambos lados, obtenemos
$ (x ^ 2 + y ^ 2) ^ {3} = 4 a ^ 2 x ^ 2 y ^ 2 $
y este gráfico tiene de hecho cuatro pétalos, pero introdujimos soluciones extrañas (o espurias), como elevar al cuadrado $ x = 1 $ para obtener $ x ^ 2 = 1 $ que ahora permite $ x = -1 $ como solución. Si comenzamos con esta última ecuación e intentamos derivar las coordenadas polares correspondientes obtenemos
$ r ^ 6 = 4 a ^ 2 (r cos theta) ^ 2 (r sin theta) ^ 2 $.
$ r ^ 2 = a ^ 2 (2 cos theta sin theta) ^ 2 = a ^ 2 ( sin (2 theta)) ^ 2 $
Entonces
$ r = a sqrt { sin ^ 2 (2 theta)} = a | sin (2 theta) | $.
Y $ r = a | sin (2 theta) | $ tiene de hecho cuatro pétalos, pero $ | sin (2 theta) | neq sin (2 theta) $ if $ sin (2 theta) <0 $, lo que ocurre en el segundo y cuarto cuadrante. Entonces dibujaría $ r = a sin (2 theta) $ con dos pétalos solamente y usaría $ r = a | sin (2 theta) | $ si quisiera la curva con cuatro pétalos. No diría que está mal dibujar puntos con $ r $ negativos si sabe lo que está haciendo y no está usando estos puntos para evaluar longitudes y áreas.
Estoy de acuerdo contigo. Decir que $ r $ cuando se da en función de $ theta $ debe ser positivo es, en mi opinión, tan malo como decir que si $ y = f (x) $ entonces $ y $ debe ser positivo. Ciertamente quita la belleza y la simetría de los gráficos polares. De hecho, me pregunto cómo cree que se ve la gráfica de $ r = cos theta $.
Espero que hayas entendido mal a tu maestro, porque su afirmación no es cierta. Aunque no me sorprendería si se tratara de un nuevo enfoque loco de “núcleo común”.
Para ser honesto, debes usar las definiciones que da tu maestro. Es menos complicado y si luego quiere discutir un punto que depende de esas definiciones, entonces tiene una pierna en la que pararse. Eso no significa que no deba presionar el tema y ver si no puede obtener una razón de ellos o tratar de convertirlos, pero mientras tanto, E sigue siendo el que califica su trabajo.
Desafortunadamente, la pregunta de cuál es la “correcta” probablemente carezca de sentido. Ambos tienen buenas justificaciones y, a menos que pueda encontrar alguna inconsistencia interna con el uso de uno u otro, ambos parecen razonables.