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Solución:
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Alternativamente, podemos usar la primera forma fundamental para determinar el elemento de área de superficie. Recuerda que este es el tensor métrico, cuyas componentes se obtienen tomando el producto interno de dos vectores tangentes en tu espacio, es decir, $g_ij= X_i cdot X_j$ para los vectores tangentes $X_i, X_j$. Hacemos la siguiente identificación para los componentes del tensor métrico, $$ (g_ij) = left(begin{arraycc E y F \ F y G endarray right), $$ de modo que $E =
Entonces podemos hacer uso de la Identidad de Lagrange, que nos dice que el área cuadrada de un paralelogramo en el espacio es igual a la suma de los cuadrados de sus proyecciones en el plano cartesiano: $$|X_u times X_v|^2 = |X_u |^2 |X_v|^2 – (X_u cdot X_v)^2.$$
Aquí hay una imagen en el caso de la esfera:
Esto significa que nuestro elemento de área está dado por $$ dA = | X_u veces X_v | du dv = sqrt du dv = sqrtEG – F^2 du dv. $$
Así que terminemos tu ejemplo de esfera. Encontraremos nuestros vectores tangentes a través de la parametrización habitual que proporcionó, a saber, $X(phi,theta) = (r cos(phi)sin(theta),r sin(phi) sin(theta),r cos(theta)),$ para que nuestros vectores tangentes sean simplemente $$ X_phi = (-rsin(phi)sin(theta),rcos (phi)sin(theta),0), \ X_theta = (rcos(phi)cos(theta),rsin(phi)cos(theta) ,-rsin(theta)) $$ Calculando los elementos de la primera forma fundamental, encontramos que $$ E = r^2 sin^2(theta), hspace3mm F=0, hespacio3mm G= r^2. $$ Por lo tanto, tenemos $$ dA = sqrtr^4 sin^2(theta)dtheta dphi = r^2sin(theta) dtheta dphi $$
Cuando tienes una representación paramétrica de una superficie $$S:quad (u,v) mapsto bf x(u,v)$$ entonces un rectángulo infinitesimal $[u, u+du]veces [v,v+dv]$ en el plano de parámetros se asigna a un paralelogramo infinitesimal $dP$ que tiene un vértice en $bf x(u,v)$ y está atravesado por los dos vectores $bf x_u(u,v) , du$ y $bf x_v(u,v),dv$. El área de este paralelogramo es $$rm domega:=|bf x_u(u,v)timesbf x_v(u,v)| rm d( u,v) .$$ Si se le da una “densidad superficial” $bf xmapsto rho(bf x)$ $ (bf xin S)$ entonces la La integral $I(S)$ de esta densidad sobre $S$ viene dada por $$I(S)=int_B rhobigl(bf x(u,v)bigr) rm d omega = int_B rhobigl(bf x(u,v)bigr) |bf x_u(u,v)timesbf x_v(u,v) | rm d(u,v) ,$$ donde $B$ es el dominio del parámetro correspondiente a la pieza exacta $S$ de superficie.
Ahora esta es la configuración general. Cuando su superficie es una parte de una esfera de radio $r$, entonces se aplica la representación paramétrica que ha proporcionado, y si solo desea calcular el área euclidiana de $S$, entonces $rho(bf x)equiv1 ps
Por lo tanto, en su situación queda por calcular el producto vectorial $bf x_phitimes bf x_theta$ en función de $phi$ y $theta$, respectivamente, el valor absoluto valor de este producto, y luego debe integrarse sobre el dominio de parámetro deseado $B$.
Ha pedido explícitamente una explicación en términos de “jacobianos”. El producto vectorial $times$ es el sustituto apropiado de eso en las presentes circunstancias, pero en el caso simple de una esfera es bastante obvio que $rm domega=r^2sintheta, rm d(theta,phi)$.
Hay otra forma de verlo utilizando la noción de ángulo sólido. Entonces el elemento area tiene una forma particularmente simple:
$$dA=r^2dOmega$$
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