Solución:
El concepto de productos tensoriales de espacios vectoriales es necesario para la descripción de la relatividad general. Por ejemplo, el tensor métrico $ mathbf {g} $ de una variedad pseudo-riemanniana $ (M, mathbf {g}) $ puede verse como una ‘colección disjunta’ de productos tensoriales. En términos de un sistema de coordenadas locales $ (x ^ {1}, ldots, x ^ {n}) $, podemos expresar $ mathbf {g} $ como $ g_ {ij} cdot d {x ^ { i}} otimes d {x ^ {j}} $, donde $ d {x ^ {i}} $ y $ d {x ^ {j}} $ son formas diferenciales de $ 1 $ y $ g_ {ij} $ es solo un coeficiente escalar. En cada $ p en M $, lo que $ mathbf {g} $ hace es tomar dos vectores tangentes en $ p $ como entrada y producir un escalar en $ mathbb {R} $ como salida, todo de forma lineal . En otras palabras, en cada punto $ p $, podemos ver $ mathbf {g} = g_ {ij} cdot d {x ^ {i}} otimes d {x ^ {j}} $ como un mapeo bilineal desde $ {T_ {p}} (M) times {T_ {p}} (M) $ a $ mathbb {R} $, donde $ {T_ {p}} (M) $ denota el espacio tangente en $ p $.
El tensor métrico es el mismo objeto que codifica la información geométrica sobre la variedad $ M $. Todas las demás cantidades útiles se construyen a partir de él, como el tensor de curvatura de Riemann y el tensor de curvatura de Ricci (por supuesto, todavía necesitamos algo llamado “conexión afín” para definir estos tensores). En la relatividad general, el tensor métrico codifica la curvatura del espacio-tiempo, que puede afectar y afecta el rendimiento de la instrumentación de alta precisión, como el sistema de posicionamiento global (GPS).
Para espacios vectoriales sobre un campo $ mathbb {K} $, los productos tensoriales generalmente se definen en términos de asignaciones multilineales. Es posible que haya visto la definición más abstracta utilizando un sistema de generadores, pero se puede demostrar que estas dos definiciones son iguales. Desde el punto de vista categórico, ambas construcciones satisfacen la misma propiedad universal (esta propiedad se explica en el artículo de Wikipedia sobre productos tensoriales), por lo que deben ser isomorfas en la categoría de $ mathbb {K} $-espacios vectoriales.
Necesitas entender eso los productos tensoriales son objetos algebraicos, tiempo los campos tensoriales son objetos geométricos. Incluso más fundamental que el concepto de campo tensorial es el de conjunto tensorial. Puede pensar en un paquete tensorial como una colección de productos tensoriales unidos a puntos individuales de una variedad de una manera consistente (por ‘consistente’, quiero decir que los axiomas de un paquete vectorial deben satisfacerse). Como nos relacionamos el producto tensorial unido a un punto para el producto tensorial adjunto a otro punto de eso trata el tema de la geometría diferencial. Por otro lado, lo que hacemos con el producto tensorial adjunto a un único punto fijo es álgebra pura.
Cualquier discusión sobre el espacio-tiempo a escala global requiere la Relatividad General, que tiene en cuenta la curvatura del espacio-tiempo. Sin embargo, en una pequeña vecindad de cualquier punto fijo en el espacio-tiempo, siempre se tiene lo que se llama un “marco inercial local”. En tal marco, los efectos gravitacionales pueden transformarse, en cuyo caso, la Relatividad General simplemente se reduce a Relatividad Especial, que algunos matemáticos ven como nada más que un álgebra lineal avanzada. Esta ilustración refuerza la idea de que “global es geometría pero local es álgebra”.
¡Esta es una pregunta realmente reveladora! Estás señalando que, en mecánica cuántica, hay dos nociones diferentes de “producto tensorial”:
- La composición de los sistemas físicos (una noción física).
- El producto tensorial de los espacios de Hilbert (una noción matemática).
Dice que no puede ver cómo estas dos nociones son equivalentes, ¡y tiene razón! No lo son.
En diferentes tipos de teorías físicas, la composición de los sistemas físicos se representa matemáticamente de diferentes maneras. Por ejemplo:
- En mecánica estadística, cada tipo de sistema físico se describe mediante un espacio medible (un espacio que puede llevar distribuciones de probabilidad), y la composición de los sistemas se describe mediante el producto cartesiano de espacios medibles.
- En la mecánica clásica, cada tipo de sistema físico se describe mediante un variedad simpléctica (un espacio donde las ecuaciones de Hamilton tienen sentido), y la composición es descrita por el producto simpléctico de variedades simplécticas.
Hay una idealización matemática que captura perfectamente la idea física de la composición de sistemas: el “producto del tensor monoidal” en un categoría monoidal. El producto tensorial de los espacios vectoriales, el producto cartesiano de los espacios mensurables y el producto simpléctico de las variedades simplécticas son todos ejemplos de productos tensoriales monoidales.
Para obtener más información sobre las categorías monoidales y su profunda relación con la física, recomiendo “Introducción de categorías al físico en ejercicio” de Bob Coecke. También es posible que desee consultar un artículo clásico, pero más intensivo en antecedentes, de John Baez, llamado “Dilemas cuánticos: una perspectiva teórica de categorías”.
PD
Como he estado diciendo, no se requiere el uso del producto tensorial de los espacios de Hilbert para representar la composición de sistemas físicos; de hecho, ¡ni siquiera se requiere el uso de espacios de Hilbert para representar tipos de sistemas físicos! Entonces, ¿por qué siempre usamos la maquinaria matemática de los espacios de Hilbert, los mapas lineales y los productos tensoriales para construir nuestras teorías cuánticas?
Si aprende suficiente teoría de categorías, puede encontrar una respuesta realmente interesante en la tesis de Chris Heunen, “Modelos y lógicas cuánticas categóricas”. Heunen muestra que el conjunto de maquinaria matemática que mencioné anteriormente (generalmente llamado “la categoría de espacios de Hilbert”, o Hilb para abreviar) es lo suficientemente sofisticado como para construir cualquier teoría que satisfaga ciertas condiciones (véanse las Definiciones 3.7.1 y 3.6.1 y el Teorema 3.7.8). Las condiciones parecen bastante técnicas, pero muchas de ellas (¡quizás todas!) Se pueden considerar de una manera física intuitiva. Hablando en términos generales, estoy bastante seguro de que …
- “Tiene una daga” significa que su teoría tiene una noción de inversión del tiempo. El adjetivo “daga” que aparece en las otras condiciones significa “compatible con la inversión del tiempo”.
- “Es una daga simétrica monoidal” significa que su teoría tiene una noción de composición de sistemas físicos.
- “Tiene biproductos de daga finitos” significa que si su teoría puede describir sistemas de tipo
protony sistemas de tiponeutron, también puede describir sistemas de tipoproton or neutron, but I don't know which, y que siempre puede hacer un experimento para determinar si un sistema de este tipo es unprotono unneutron. - “Cada daga mono es un núcleo de daga” significa que si el tipo
cartiene un subtipoawesome car, también hay un subtiponot-awesome car. - “Tiene ecualizadores de daga finitos” significa que para dos experimentos cualesquiera que se pueden realizar en el mismo tipo de sistema, hay un subtipo que describe sistemas para los cuales los resultados de los experimentos son siempre los mismos.