Solución:
Suponga que desea maximizar $ z = f (x, y) $ sujeto a la restricción $ g (x, y) = c $. Ha utilizado el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar el máximo $ M $ y, a lo largo del camino, ha calculado el multiplicador de Lagrange $ lambda $. Entonces $ lambda = {dM over dc} $, es decir, $ lambda $ es la tasa de cambio del valor máximo con respecto a $ c $.
Dicho de otra manera, puede pensar en $ lambda $ como aproximadamente el cambio en $ M $ que resulta de un cambio de una unidad en $ c $.
Desarrollando más: Optimizar $ f (x, y) $ sujeto a $ g (x, y) = c $ a través de los multiplicadores de Lagrange conduce a $ nabla f = lambda g $. Sea $ L (x, y; lambda): = f (x, y) + lambda (cg (x, y)) $. Entonces, el problema de optimización restringida se puede convertir como $ nabla L = 0 $.
Desde esta perspectiva, $ { parcial L sobre parcial c} = lambda $, es decir, $ lambda $ es la tasa de cambio de la cantidad que se optimiza, $ L $, con respecto al valor de restricción, $ c $ .
Un valor óptimo de $ f (x, y) $ sujeto a la restricción $ g (x, y) = c $ depende del valor de $ c $. Si varia $ c $, el valor óptimo de $ f $, y su asociado $ lambda $ variará. Para una dada $ c $ dejar $ P (c) $ ser el punto en el que $ f $ es óptimo, y $ f (P (c)) $ el valor óptimo, y $ lambda (c) $ el multiplicador asociado. Cómo $ f (P (c)) $ cambiar como $ c $ ¿cambios? La regla de la cadena nos da la respuesta. Suponiendo que todas las funciones son diferenciables $ frac {df (P (c))} {dc} = nabla f (P (c)) cdot P ‘(c) $ . Por el método del multiplicador de Lagrange tenemos $ nabla f (P (c)) = lambda (c) nabla g (P (c)) $. Por lo tanto obtenemos
$ frac {df (P (c))} {dc} = nabla f (P (c)) cdot P ‘(c) = lambda (c) nabla g (P (c)) cdot P ‘(c) $. De nuevo por la regla de la cadena, $ nabla g (P (c)) cdot P ‘(c) = frac {dg (P (c))} {dc} = frac {d (c)} {dc} = 1 $. Y entonces $ frac {df (P (c))} {dc} = lambda (c) $ . Es decir, como dice John D., el $ lambda (c) $ es la tasa a la que el valor óptimo de $ f $ varía como $ c $ varía.
Creo que lambda representa la utilidad marginal de la restricción. Suponga que la gpa es función de estudiar matemáticas y economía g (m, e), y la restricción es el tiempo