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El radio medio de una elipse.

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Solución:

Sugerencias:

La ecuación polar de la elipse con un foco en el origen y el otro en el eje real positivo ($e = $ excentricidad) es:

$$r = fraca(1 – e^2)1 – ecos(theta).$$

Y el radio promedio se puede calcular usando la integral

$$frac12piint_0^2pir(theta)dtheta.$$

¿Puedes continuar?

Actualización: ya se preguntó en Astronomy SE. El hecho importante:

Es el semieje mayor el que define el período, no la distancia promedio.

En pocas palabras: el “promedio simple” $ne$ los integral promedio. También interesante (y diferente): el hora promedio.

Actualización 2: haciendo el cov $z = tan(theta/2)$,
$$intfrac11 – ecos(theta)dtheta = intfrac11 – efrac1 – z^21 + z^2 frac21 + z^2dz = intfrac2(1 + e)z^2 + (1 – e)dz =$$$$ = frac2sqrt1 – e^2arctanleft(fracsqrt1 + esqrt1 – ezright) = frac2sqrt1 – e^2arctanleft(fracsqrt1 + esqrt1 – etan(theta/2)right ).$$

@Martin-Blas ya ha sugerido dos posibles nociones de promedio

  1. Tome un promedio con respecto a $theta$el ángulo central

  2. Tome un promedio con respecto al tiempo, es decir,$$ frac1Tint_0^T | u(t) | dt, $$
    donde $T$ es el periodo y $u(t)$ es la posición del planeta en el tiempo $t$y el sol se encuentra en el origen del sistema de coordenadas.

Hay una tercera noción, que es

  1. Un promedio con respecto a la longitud del arco, es decir, $$ int_0^L | u(t) | ds$$
    donde $L$ es la longitud de arco total de la elipse, y $ds = |u'(t)| dt$ es integrando de longitud de arco.

Estoy bastante seguro de que uno podría incluso enganchar a algunos otros, pero el key La cosa aquí es la mencionada por otros: esta pregunta no tiene respuesta hasta que sepa la medida con respecto a la cual se está calculando el “promedio”.

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