Nuestro team redactor ha estado largas horas investigando la solución a tus dudas, te regalamos la solución por esto deseamos resultarte de mucha apoyo.
Solución:
Introducción:
La cuestión es qué “…” realmente “representa”.
Normalmente lo usamos como una especie de taquigrafía, como si dijéramos “mira, no puedo escribir infinitas cosas, simplemente asume que el patrón obvio se mantiene y continúa infinitamente”.
Esta idea se aplica a todo tipo de cosas: radicales anidados, sumas infinitas, fracciones continuas, secuencias infinitas, etc.
Sobre sumas infinitas:
Un ejemplo simple: la suma de los recíprocos de cuadrados:
$$ 1 + frac 1 4 + frac 1 9 + frac 1 16 + … $$
Este es un resumen bien conocido. Es la función zeta de Riemann $ zeta (s) $ a $ s = 2 $, y se sabe que evalúa $ pi ^ 2/6 $ (probado por Euler y conocido como el problema de Basilea).
Otra suma más fácil de manejar es la suma geométrica
$$ 1 + frac 1 2 + frac 1 4 + frac 1 8 + … $$
Esta es una serie geométrica donde la razón es $ 1/2 $ – cada sumando es la mitad del anterior. También sabemos que esto se evalúa como $ 2 $.
Otra serie geométrica que podrías ver en las pruebas de que $ 0.999 … = 1 $ es
$$ 9 left ( frac 1 10 + frac 1 100 + frac 1 1,000 + frac 1 10,000 + … right) $$
que es igual $ 1 $. De hecho, cualquier serie geométrica infinita, con primer término $ a $ y proporción $ | r | <1 $ puede ser evaluado por
$$ sum_ n = 0 ^ infty ar ^ n = frac a 1-r $$
Entonces surge una pregunta: ignorando estos resultados “obvios” (dependiendo de su cantidad de conocimiento matemático), ¿cómo sabríamos que estos convergen a los valores dados? ¿Qué significa exactamente que una suma converja en un número o sea igual a un número? Para sumas finitas, esto no es un problema; al menos, podríamos sumar cada número manualmente, pero no podemos simplemente sumar cada número de un conjunto de números infinitos.
Bueno, uno podría argumentar con sentido común que, si la secuencia converge a algún número, cuantos más y más términos sume, más se acercarán a ese número.
Entonces obtenemos una definición para la convergencia de una suma infinita. Considere una secuencia donde el $ n ^ th $ término se define por la suma de la primera $ n $ términos en la secuencia. Para introducir algunos símbolos, suponga que estamos tratando de encontrar la suma
$$ sum_ k = 1 ^ infty x_k = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + … $$
por lo que sea que estos $ x_i $son. Luego defina estas llamadas “sumas parciales” de esto mediante una función $ S (n) $:
$$ S (n) = sum_ k = 1 ^ n x_k = x_1 + x_2 + … + x_n $$
Luego obtenemos una secuencia de sumas:
$$ S (1), S (2), S (3), … $$
o equivalente
$$ x_1 ; ;, ; ; x_1 + x_2 ; ;, ; ; x_1 + x_2 + x_3 ; ;, ; ; … $$
Luego preguntamos: ¿qué $ S (n) $ acercarse como $ n $ crece sin límite, en todo caso? (En cálculo, llamamos a esto “el límite de las sumas parciales $ S (n) $ como $ n $ se acerca al infinito. “)
Para el caso de nuestra primera suma geométrica, inmediatamente vemos la secuencia de sumas parciales
$$ 1, frac 3 2, frac 7 4, frac 15 8, … $$
Claramente, esto sugiere un patrón, y si lo desea, puede seguir adelante y demostrarlo, no lo haré aquí por brevedad. El patrón es que el $ n ^ th $ término de la secuencia es
$$ S (n) = frac 2 ^ (n + 1) – 1 2 ^ n $$
Entonces podemos considerar fácilmente el límite de estas sumas parciales:
$$ lim_ n to infty S (n) = lim_ n to infty frac 2 ^ (n + 1) – 1 2 ^ n = lim_ n to infty frac 2 ^ (n + 1) 2 ^ n – frac 1 2 ^ n = lim_ n to infty 2 – lim_ n to infty frac 1 2 ^ n $$
Obviamente, $ 1/2 ^ n a 0 $ como $ n $ crece sin límite, y $ 2 $ no se ve afectado por $ n $, entonces concluimos
$$ lim_ n to infty S (n) = lim_ n to infty 2 – lim_ n to infty frac 1 2 ^ n = 2 – 0 = 2 $$
Y así decimos
$$ sum_ k = 0 ^ infty left ( frac 1 2 right) ^ k = 1 + frac 1 2 + frac 1 4 + frac 1 8 + … = 2 $$
porque el enfoque de sumas parciales $ 2 $.
Sobre fracciones continuas:
Ese fue un ejemplo simple, “primero”, pero los matemáticos esencialmente hacen lo mismo en otros contextos. Quiero tocar otro de esos contextos antes de abordar el caso radical, solo para aclarar ese punto.
En este caso, será con fracciones continuas. Una de las fracciones más simples es la de $ 1 $:
$$ 1 = frac 1 2- frac 1 2- frac 1 2- frac 1 … $$
Como de costumbre, el “…” denota que esto continúa para siempre. Pero, ¿qué significa que esta expresión infinita sea igual a $ 1 $?
Para esto, consideramos un análogo más general de la “suma parcial” de antes – un “convergente”. Cortamos la secuencia en puntos lógicos finitos, sean cuales sean esos puntos dependiendo del contexto. Entonces, si la secuencia de los convergentes se acerca a un límite, decimos que son iguales.
¿Cuáles son los convergentes para una fracción continua? Por convención, cortamos justo antes del comienzo de la siguiente fracción. Es decir, en la fracción continua de $ 1 $, cortamos en el $ n ^ th ; 2 $ Para el $ n ^ th $ convergente e ignore lo que sigue. Entonces obtenemos la secuencia de convergentes
$$ frac 1 2, frac 1 2- frac 1 2, frac 1 2- frac 1 2- frac 1 2, … $$
Calculando los números, encontramos que la secuencia es
$$ frac 1 2, frac 2 3, frac 3 4, … $$
De nuevo, ¡vemos un patrón! los $ n ^ th $ término de la secuencia es claramente de la forma
$$ frac n-1 n $$
Dejar $ C (n) $ ser una función que denota el $ n ^ th $ convergente. Luego $ C (1) = 1/2, $$ C (2) = 2/3, $$ C (n) = (n-1) / n, $ etcétera. Entonces, como antes, consideramos el límite infinito:
$$ lim_ n to infty C (n) = lim_ n to infty frac n-1 n = lim_ n to infty 1 – frac 1 n = lim_ n to infty 1 – lim_ n to infty frac 1 n = 1 – 0 = 1 $$
Por tanto, podemos concluir que la fracción continua es igual a $ 1 $, porque su secuencia de convergentes es igual a $ 1 $!
Sobre los radicales infinitos:
Así que ahora tocamos infinitos radicales anidados. Son más complicados de tratar, pero factibles.
Uno de los ejemplos más simples de tales radicales con los que lidiar es
$$ 2 = sqrt 2 + sqrt 2 + sqrt 2 + sqrt 2 + sqrt 2 + … $$
Como en los dos casos anteriores, vemos una expresión infinita. Instintivamente concluimos ahora: para definir lógicamente un límite para esta expresión, para asignarle un valor siempre que exista, necesitamos cortar esto en puntos finitos, definiendo una secuencia de convergentes. $ C (n) $, y luego encuentra $ C (n) $ como $ n a infty $.
Los radicales anidados son mucho más complicados que los anteriores, pero nos las arreglamos.
Así que primero démosle la secuencia de convergentes cortando todo después de la $ n ^ th ; 2 $ en la expresión. Así obtenemos la secuencia
$$ sqrt 2 ; ;, ; ; sqrt 2 + sqrt 2 ; ;, ; ; sqrt 2+ sqrt 2+ sqrt 2 ; ;, ; ; sqrt 2+ sqrt 2+ sqrt 2+ sqrt 2 $$
De acuerdo, esto ya no es particularmente bueno, pero aparentemente existe, sorprendentemente, una expresión explícita de forma cerrada para $ C (n) $: (de: S. Zimmerman, C. Ho)
$$ C (n) = 2 cos left ( frac pi 2 ^ n + 1 right) $$
(Tuve que encontrar esa expresión buscando en Google, honestamente, no lo sabía de inmediato. Se puede probar por inducción, como se menciona en esta pregunta de MSE).
Entonces, afortunadamente, podemos encontrar el límite de $ C (n) $:
$$ lim_ n to infty C (n) = lim_ n to infty 2 cos left ( frac pi 2 ^ n + 1 right) $ PS
Probablemente sea obvio que el argumento de la función coseno se aproxima $ 0 $ como $ n $ crece sin límite, y así
$$ lim_ n to infty C (n) = lim_ n to infty 2 cos left ( frac pi 2 ^ n + 1 right) = 2 cos (0) = 2 cdot 1 = 2 $$
Por lo tanto, dado que su enfoque convergente $ 2 $, podemos concluir que
$$ 2 = sqrt 2 + sqrt 2 + sqrt 2 + sqrt 2 + sqrt 2 + … $$
Una larga conclusión:
Entonces, en resumen, ¿cómo evaluamos una expresión infinita, ya sea radical, fracción continua, suma o de otra manera?
Comenzamos truncando la expresión en lugares finitos convenientes, creando una serie de convergentes, generalizaciones de las “sumas parciales” introducidas en cálculo. Luego intentamos obtener una forma cerrada o alguna otra expresión utilizable para los convergentes. $ C (n) $y considere el valor como $ n a infty $. Si converge a algún valor, decimos que la expresión es de hecho igual a ese valor. Si no es así, la expresión no converge a ningún valor.
Esto no significa que cada expresión sea “agradable”. Las expresiones radicales en particular, en mi experiencia, tienden a ser terriblemente desagradables, y tengo suerte de haber encontrado esa expresión de forma cerrada para el radical particularmente fácil que elegí.
Esto no significa que no se puedan utilizar otros métodos para encontrar los valores, siempre que exista algún tipo de justificación lógica para dicho método. Por ejemplo, existe una justificación para la fórmula de una suma geométrica infinita (y finita). Podríamos tener que eludir por completo la noción de sumas parciales, o al menos podría ser conveniente hacerlo. Por ejemplo, con el problema de Basilea, la demostración de Euler se centró en la serie de Maclaurin y nada de esto “convergente”. (¡Esa prueba está aquí más otras pruebas de ello!)
Afortunadamente, al menos, esta noción de convergentes, aunque no siempre sea la mejor manera de hacerlo, se presta a una fácil forma de comprobar una solución a dicho problema. Solo encuentre un montón de convergentes, tome todos los que necesite. Si de alguna manera tiene múltiples soluciones, como piensa con el radical de Ramanujan, verá que los convergentes se acercan cada vez más a la solución “verdadera”.
(La cantidad de convergentes que necesita encontrar depende de la situación y de lo cerca que estén las soluciones propuestas. Podría ser inmediatamente obvio después de $ 10 $ iteraciones, o podría no serlo hasta $ 10,000,000 $. Esta lógica también se basa en el supuesto de que solo hay una solución válida para una expresión dada. Dependiendo del contexto, es posible que vea casos en los que varias soluciones son válidas, pero este método de “aproximación manual” solo le proporcionará algunas de las soluciones. Esto toca la noción de soluciones “inestables” y “estables” para sistemas dinámicos, que creo que es el contexto principal donde aparecerían, pero es un poco exagerado discutir eso para esta publicación).
Así que concluiré mostrando, de esta manera, que la solución es $ 3 $ al radical de Ramanujan.
Empezamos por el radical en sí:
$$ sqrt 1 + 2 sqrt 1 + 3 sqrt 1 + 4 sqrt 1+ cdots = 3 $$
Comencemos por obtener una serie de convergentes:
$$ sqrt 1 ; ;, ; ; sqrt 1 + 2 sqrt 1 ; ;, ; ; sqrt 1 + 2 sqrt 1 + 3 sqrt 1 ; ;, ; ; $$
Porque el $ sqrt 1 $ no es necesario, simplemente lo dejamos ser $ 1 $.
$$ 1 ; ;, ; ; sqrt 1 + 2 ; ;, ; ; sqrt 1 + 2 sqrt 1 + 3 ; ;, ; ; $$
Bien, entonces … ¿a dónde ir desde aquí? Honestamente, mi tentación inicial fue simplemente usar un script de MATLAB y evaluarlo, pero no puedo pensar en una forma cerrada recursiva para esto que sería lo suficientemente bueno. Entonces, en cualquier caso, solo tenemos que ir por “mano” (y por mano me refiero a WolframAlpha). Dejar $ C (n) $ ser el $ n ^ th $ convergente. Luego
- $ C (1) = 1 $
- $ C (2) aproximadamente 1.732 $
- $ C (3) aproximadamente 2.236 $
- $ C (4) aproximadamente 2.560 $
- $ C (5) aproximadamente 2.755 $
- $ C (6) aproximadamente 2.867 $
- $ C (7) aproximadamente 2.929 $
- $ C (8) aproximadamente 2.963 $
- $ C (9) aproximadamente 2.981 $
- $ C (10) aproximadamente 2.990 $
Para omitir algunos valores porque en este punto los cambios se vuelven mínimos, utilicé una macro para hacer un código rápido para $ C (50) $ para poder ponerlo en Microsoft Excel y obtener el resultado aproximado
$$ C (50) aprox 2.999 ; 999 ; 999 ; 999 ; 99 $$
Entonces, si bien no es el resultado más riguroso, al menos en un nivel intuitivo podemos sentir que los convergentes del radical de Ramanujan convergen a $ 3 $, no $ 4 $ o cualquier otro número. Si ignoramos que esto no es una prueba férrea de la convergencia, al menos intuitivamente, podemos sentir que
$$ 3 = sqrt 1 + 2 sqrt 1 + 3 sqrt 1 + 4 sqrt 1+ cdots $$
¡Uf! ¡Esperamos que esa publicación tan larga te haya sido útil!
Una nota a pie de página tardía, pero Mathologer en YouTube hizo un video sobre este mismo tema, por lo que su video también daría un resumen decente de todo esto. Aquí hay un enlace.
El usuario @Eevee Entrenador proporcionó una buena explicación sobre cómo definimos radical anidado infinito en términos de límite de radical anidado finito que debería ser insensible al punto de partida. Para una generalidad completa en este sentido, podemos considerar la convergencia de los siguientes radicales anidados finitos
$$ sqrt 1 + 2 sqrt 1 + 3 sqrt 1 + cdots n sqrt 1 + (n + 1) a_n etiqueta * $$
para una secuencia dada $ (a_n) $ de números reales no negativos. En esta respuesta, probaré la convergencia de $ text { PS para $ 3 $
bajo una condición leve. Mi solución implicará algunos conocimientos preliminares sobre análisis. Configuración. Consideramos el mapa$ Phi $ , definido en el espacio de todas las funciones de[0,infty)$ to $[0, infty)$, which is given by
$$ Phi [f]PS
(x) = sqrt 1 + xf (x + 1). $$ Veamos cómo $ Phi $ está relacionado con nuestro problema. La idea es aplicar el truco de calcular el radical anidado infinito de Ramanujan no a un solo número, sino a una función. Aquí elegimos$ F (x) = x + 1 $
. Ya que[F]$$ F (x) = 1 + x = sqrt 1 + x (x + 2) = sqrt 1 + xF (x + 1) = Phi
(x), $$ se deduce que podemos iterar $ Phi $
varias veces para obtener[F]$$ F (x) = Phi ^ circ n
(x) = sqrt 1 + x sqrt 1 + (x + 1) sqrt 1 + cdots (x + n-1) sqrt (x + n + 1) ^ 2 , $$ dónde $ Phi ^ circ n = Phi circ cdots circ Phi $ es el$ n $ -composición de función de doblez de$ Phi $ . Por supuesto, el radical original corresponde al caso$ x = 2 $ . Esto ya prueba que[F]$ Phi ^ circ n (x) $ converge a $ F (x) $ como$ n a infty $
. Por otro lado, los radicales anidados infinitos no tienen ningún valor designado para empezar, por lo que el cálculo anterior está lejos de ser satisfactorio cuando se trata de definir un radical anidado infinito. Por tanto, una forma de robustez de la convergencia se requiere. A este respecto, @Eevee Entrenador
investigó la convergencia de[1]$$ Phi ^ circ n
(2) = sqrt 1 + 2 sqrt 1 + 3 sqrt 1 + cdots (n + 1) sqrt 1, $$ y confirmó numéricamente que esto todavía tiende a $ F (2) = 3 $ como $ n $
crece. Por supuesto, será ideal si podemos verificar la misma conclusión para otros puntos de partida de opciones y utilizando argumentos rigurosos. Prueba. Una cosa buena sobre $ Phi $ es que disfruta de la monotonía, es decir, si$ f leq g $ , luego [f] $ Phi [g] leq PhiPS
. A partir de esto, es fácil establecer la siguiente observación. Lema 1. Para cualquier$ f geq 0 $ , tenemos[f]$ liminf_ n to infty Phi ^ circ n(x) geq x + 1 $
. Prueba. Aplicamos inductivamente la monotonicidad de $ Phi $
para encontrar eso [0]$$ Phi ^ circ (n + 1)[x](x) geq x ^ 1-2 ^ – n qquad text y qquad Phi ^ circ n
(x) geq x + 1-2 ^ – n. $$ Entonces, para cualquier número entero$ m geq 0 $
,[f] begin align * liminf_ n to infty Phi ^ circ n[Phi^circ (n+1)[0](x) & geq liminf_ n to infty Phi ^ circ m[x^1-2^-(n-1)]](x) geq liminf_ n to infty Phi ^ circ m[x](x) \ & = Phi ^ circ m
(x) geq x + 1-2 ^ – m, end align * y dejando $ m a infty $
Demuestra el Lema 1 como se requiere. Lema 2. Si$ limsup_ x to infty frac log log max e, f (x) x < log 2 $ , luego[f]$ limsup_ n to infty Phi ^ circ n(x) leq x + 1 $
. Prueba. Por supuesto, existe $ C> 1 $ y [0, 2)$ such that $f(x) leq C e^alpha^x (x + 1)$. Again, applying monotonicity of $Phi$, we check that $Phi^circ n[f]$ alpha in (x) leq C ^ 2 ^ – n e ^ ( alpha / 2) ^ n alpha ^ x (x + 1) $ sostiene. Esto es ciertamente cierto si$ n = 0 $ . Además, suponiendo que esto sea cierto para$ n $
,[f] begin align * Phi ^ circ (n + 1)[C^2^-n e^(alpha/2)^n alpha^x (x+1)right](x) & leq Phi left
(x) \ & = left (1 + x C ^ 2 ^ – n e ^ ( alpha / 2) ^ n alpha ^ x + 1 (x + 2) right ) ^ 1/2 \ & leq C ^ 2 ^ – n-1 e ^ ( alpha / 2) ^ n + 1 alpha ^ x (x + 1 ). end alinear * Ahora dejando $ n a infty $
demuestra el resultado deseado. Corolario. Si $ a_n geq 0 $ satisface$ limsup_ n to infty frac log log max e, a_n n < log 2 $ , luego para cualquier$ x geq 0 $
,
$$ lim_ n to infty sqrt 1 + x sqrt 1 + (x + 1) sqrt 1 + cdots + (x + n-2) sqrt 1 + (x + n-1) a_n = x + 1. $$ Prueba. Aplicar los lemas 1 y 2 a la función $ f $ que interpola$ (a_n) $
, como el uso de interpolación lineal por partes. El límite en el lema 2 y el corolario es óptimo. De hecho, considere el no-ejemplo en la pregunta de OP de expandir $ 4 $ como en el radical anidado infinito de Ramanujan. Entonces definimos la secuencia $ a_n $
para satisfacer
$$ sqrt 1 + 2 sqrt 1 + 3 sqrt 1 + cdots n sqrt 1 + (n + 1) a_n = 4. $$
Sus primeros 4 términos se dan de la siguiente manera.
$$ a_1 = frac 15 2, quad a_2 = frac 221 12, quad a_3 = frac 48697 576, quad a_4 = frac 2371066033 1658880 , quad cdots. $$ Entonces podemos demostrar que $ frac 1 n log log a_n to log 2 $ como$ n a infty $
.
Como han dicho otros, la definición rigurosa de una expresión infinita proviene del límite de una secuencia de términos finitos. Los términos deben estar bien definidos, pero en la práctica, solo tratamos de asegurarnos de que el patrón se desprenda del contexto.
Ahora veamos qué sale mal con su otro ejemplo. Tu escribiste:
$$ 4 = sqrt 16 = sqrt 1 + 2 sqrt 56.25 = sqrt 1 + 2 sqrt 1 + 3 sqrt frac 48841 144 =. .. = sqrt 1 + 2 sqrt 1 + 3 sqrt 1 + 4 sqrt 1+ cdots $$ El problema es que cada término de la secuencia (por ejemplo, si nos detenemos en$ 4 $ ) no incluye una cantidad “adicional” (y esta cantidad no va a cero). Entonces, si miramos las sumas parciales, vemos que no convergerán a $ 4 $
a menos que incluyamos las cantidades adicionales que seguimos empujando hacia la derecha. Es el mismo error lógico que tomar
begin align * 2 & = 1 + 1 \ & = frac 1 2 + frac 1 2 + 1 \ & = frac 1 2 + frac 1 4 + frac 1 4 + 1 \ & = frac 1 2 + frac 1 4 + frac 1 8 + cdots + 1 end alinear * Y luego diciendo, espera, las sumas parciales en la última línea solo convergen para $ 1 $ en lugar de$ 2 $ . Pero esto es un error porque no podemos presionar más $ 1 $ “infinitamente lejos” a la derecha. De lo contrario, los términos de suma parcial que escribimos se verán como $ frac 1 2 + frac 1 4 + cdots $
y nunca incluirá el $ 1 $. Lo mismo está sucediendo (aproximadamente) en su ejemplo.
valoraciones y comentarios
Si posees alguna perplejidad y disposición de acrecentar nuestro reseña puedes añadir un paráfrasis y con placer lo observaremos.