Solución:
De hecho, existe una prueba topológica que utiliza la definición de compacidad de cubiertas abiertas.
Sea $ A $ y $ B $ conjuntos compactos y $ {O_ lambda } _ { lambda in Lambda} $ sea una cubierta abierta de $ A veces B $. Para cada $ (a, b) en A multiplicado por B $, podemos elegir algunos $ lambda = lambda (a, b) $ tales que $ (a, b) en O _ { lambda (a, b PS Por construcción, $ O _ { lambda (a, b)} $ está abierto, por lo tanto, el punto $ (a, b) $ está contenido en una caja abierta $ X subconjunto O _ { lambda (a, b)} $ donde $ X = U _ {(a, b)} times V _ {(a, b)} $, donde $ U _ {(a, b)} subconjunto A $ y $ V _ {(a, b)} subconjunto B PS
Supongamos que fijamos $ a $ y variamos $ b $. Entonces, para cada punto $ (a, b) $, encontramos que el punto está contenido en una caja abierta en el producto $ A times B $, y esa caja es en sí misma el producto de un subconjunto de $ A $ con un subconjunto de $ B $. Procediendo de esta manera, observamos que la colección de conjuntos $ {V _ {(a, b)} } _ {b in B} $ es una tapa abierta de $ B $. Dado que asumiendo que $ B $ es compacto, podemos encontrar una cobertura finita $ {V _ {(a, b_j (a))} } $ de $ B $ que consiste en un número finito de conjuntos abiertos que contienen puntos $ {(a , b_j (a)) } $.
Ahora sea $ U_a = bigcap_j U _ {(a, b_j (a))} $. Dado que $ U_a $ es la intersección de un número finito de conjuntos abiertos, él mismo está abierto. Como $ A $ es compacto, hay un número finito de $ a_i $ de modo que $ {U_ {a_i} } $ forma una cubierta abierta de $ A $. Luego se deduce que la colección de conjuntos $ {O _ {(a_i, b_j (a_i))} } $ (para todas las combinaciones de $ i, j $) es una cobertura finita de $ A veces B $, por lo tanto $ A times B $ es compacto.
Un conjunto $ S $ es compacto si procede de cualquier secuencia de elementos en $ S $ puede extraer una subsecuencia con un límite en $ S $.
Si nos dan una secuencia $ (u_n) $ de $ A multiplicado por B $, entonces puedes escribir $ u_n = (a_n, b_n) $. Ya que $ A $ es compacto, puedes encontrar una subsecuencia $ (a_ {f (n)}) $ con un límite en $ A $. Entonces, dado que B también es compacto, puede extraer una subsecuencia $ (b_ {f (g (n))}) $ de $ (b_ {f (n)}) $ con un límite en B. Por lo tanto, la subsecuencia $ (u_ {f (g (n))}) $ de $ (u_n) $ tiene su límite en $ A multiplicado por B $. Esto prueba que $ A multiplicado por B $ es compacto.
Espero que puedan entender mi explicación, sé que mi inglés es aproximativo …