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Solución:
El mapa $(x,y)mapsto (u,v)$, descrito a continuación, es continuo en $mathbbR^2setminus (0,0)$. De hecho, cada una de las tres piezas es continua y coinciden en superposiciones.
$$v=y,qquad u=begincasos x,quad &xle 0,\ x/|y|,quad & 0le xle |y|, \ x-| y|+1,cuadrángulo &x>|y| endcases $$ Además, la imagen de cualquier punto en $mathbbR^2setminus (0,0)$ está contenida en $mathbbR^2setminus([0,1]veces )$.
El inverso del mapa anterior es $$y=v,qquad x=begincases u,quad &xle 0,\ u|v|,quad & 0le ule 1, u+|v|-1,quad &u>1 endcases $$ Es continuo en todo $mathbbR^2$; de nuevo, porque las piezas coinciden en superposiciones. La imagen de cualquier punto en $mathbbR^2setminus([0,1]times )$ está contenido en $mathbbR^2setminus (0,0)$.
La combinación de propiedades establecidas implica que el mapa es un homeomorfismo deseado.
Sea $A=mathbb R^2setminus([0,1]times )$ y $B=mathbb R^2setminus ,0.$ Coloque un sistema de coordenadas en $A$ etiquetando cada punto $(ell,theta)$ donde $ell$ es la distancia euclidiana del punto al segmento de recta $L=[0,1]times $, y $thetain[0,2pi)$ is the angle of the point from some fixed ray in $mathbb R^2$. Put the standard polar coordinates on $B$. Define $f:Ato B$ by $f(ell,theta)=(ell,theta)$.
A simple convexity argument is enough to show bijectivity. Continuity in both directions is harder to show rigorously, but not hard to see.
For convenience, I will work with $Bbb R^2setminus([-1,1]times )$ en su lugar, que obviamente es homeomorfo a su espacio por una transformación afín. La elipse con focos en $pm1$ y suma de distancias a los focos igual a $2(r+1)$ tiene eje mayor $a=r+1$ y eje menor $b=sqrtr(r+2) $, que produce la parametrización
$$x=(r+1)costheta\y=sqrtr(r+2)sintheta$$
que es un homeomorfismo de la parametrización polar $(r,theta)$ de $Bbb R^2setminus(0,0)$ a la parametrización cartesiana de $Bbb R^2setminus([-1,1]veces )$. (Encuentro esta parametrización preferible a las de @Soup y @AlexS. porque no es por partes).
A partir de la imagen, parece que es probable que haya un mapa conforme subyacente, si la parametrización $r$ se fija para satisfacer a Cauchy-Riemann. Establecer $r=f(alpha)$ e igualar las derivadas parciales $partial_alpha$ y $partial_theta$ da $f(alpha)=2sinh^2(alpha/2)=cosh alpha-1$ como una parametrización conforme $(alpha,theta)$, y volviendo a conectar esto da la parametrización
$$(x,y)=(costhetacoshalpha,sinthetasinhalpha)$$
que se ve fácilmente como el mapa conforme correspondiente a $f(z)=cos z$. En otras palabras, $cos z$ es un homeomorfismo del cociente del semiplano superior $zinBbb CmidIm z>0$ bajo la equivalencia $zsim w$ iff $zwin 2piBbb Z$, a $Bbb Csetminus[-1,1]PS al mismo tiempo $f(x+iy)=ye^ix$ es un homeomorfismo de este espacio a $Bbb Csetminus $. Tenga en cuenta que el segundo mapa no es holomorfo y, de hecho, no existe tal mapa holomorfo. No son conformemente equivalentes porque $Bbb Csetminus $ es el plano perforado y $Bbb Csetminus[-1,1]$ es conformemente equivalente al disco perforado $zmid0<$ a través del mapeo $cos z$ anterior y $e^-iz$, y el plano perforado y el disco perforado son no conformemente equivalente por el teorema de mapeo de Riemann para dominios doblemente conectados.