La guía paso a paso o código que verás en este artículo es la resolución más eficiente y efectiva que encontramos a tu duda o problema.
Solución:
El procedimiento esbozado muy brevemente en su comentario es la forma estándar de probar el Teorema 1.
Para el Teorema 2, la prueba depende exactamente de cómo es el mcd de $a$ y $b$ definido. Supongamos que se define de forma ingenua como el mayor número que es divisor común de $a$ y $b$.
Luego, debemos demostrar que no puede haber un divisor común más grande de $a$ y $b$ que la combinación lineal positiva más pequeña de estos números.
Sea $w$ la combinación lineal positiva más pequeña de $a$ y $b$, y sea $d$ su máximo común divisor.
Existen enteros $x$ y $y$ tales que $w=ax+by$. Como $d$ divide a $a$ y $b$, se deduce que $d$ divide a $ax+por$. Entonces $d$ divide a $w$, y por lo tanto $dle w$.
Tu prueba del Teorema 1 muestra que $w$ es un divisor común positivo de $a$ y $b$, entonces $wle d$. De ello se deduce que $d=w$.
Observación: Una definición alternativa del mcd es que es un entero positivo $d$ que es un divisor común de $a$ y $b$, y tal que cualquier divisor común de $a$ y $b$ divide a $d$. El teorema 2 también se puede demostrar de manera sencilla usando esa definición alternativa (pero equivalente).
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