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¿El intercambio de columnas de una matriz hace que se intercambien las filas de la matriz inversa?

Amanda, parte de este gran equipo, nos hizo el favor de escribir este artículo porque controla muy bien este tema.

Solución:

si, esto es siempre true. Tenga en cuenta que el intercambio de columnas $i$ y $j$ es equivalente a multiplicar del lado derecho por la matriz elemental $T_ij$ que se define intercambiando filas $i$ y $j$ de la matriz de identidad. Puedes comprobar que esta matriz es la inversa de sí misma. Además, multiplicando por $T_ij$ en el lado izquierdo es equivalente a intercambiar filas $i$ y $j$.

Así que si llamamos a su matriz $A$ luego $AT_ij$ es la matriz que obtienes que intercambia columnas $i$ y $j$. Entonces su inversa es $T_ijA^-1$ cuál es la matriz que obtienes cuando intercambias filas $i$ y $j$ en $A^-1$.

Otra forma de verlo: simplemente está volviendo a numerar la base de uno de los espacios vectoriales: el espacio de dominio para $A$que es el espacio de rango para $A^-1$.

Tu observación es acertada. Puede intercambiar columnas de una matriz multiplicando a la derecha por un matriz de permutación$P$ esa es la matriz de identidad con las columnas correspondientes intercambiadas: $que A = AP$. entonces tenemos $$hat A^-1 = (AP)^-1 = P^-1A^-1.$$$P$ es su propio inverso, y multiplicado por la izquierda por $P$ intercambia el filas de $A^-1$ que se intercambian en $P$.

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