Amanda, parte de este gran equipo, nos hizo el favor de escribir este artículo porque controla muy bien este tema.
Solución:
si, esto es siempre true. Tenga en cuenta que el intercambio de columnas $i$ y $j$ es equivalente a multiplicar del lado derecho por la matriz elemental $T_ij$ que se define intercambiando filas $i$ y $j$ de la matriz de identidad. Puedes comprobar que esta matriz es la inversa de sí misma. Además, multiplicando por $T_ij$ en el lado izquierdo es equivalente a intercambiar filas $i$ y $j$.
Así que si llamamos a su matriz $A$ luego $AT_ij$ es la matriz que obtienes que intercambia columnas $i$ y $j$. Entonces su inversa es $T_ijA^-1$ cuál es la matriz que obtienes cuando intercambias filas $i$ y $j$ en $A^-1$.
Otra forma de verlo: simplemente está volviendo a numerar la base de uno de los espacios vectoriales: el espacio de dominio para $A$que es el espacio de rango para $A^-1$.
Tu observación es acertada. Puede intercambiar columnas de una matriz multiplicando a la derecha por un matriz de permutación$P$ esa es la matriz de identidad con las columnas correspondientes intercambiadas: $que A = AP$. entonces tenemos $$hat A^-1 = (AP)^-1 = P^-1A^-1.$$$P$ es su propio inverso, y multiplicado por la izquierda por $P$ intercambia el filas de $A^-1$ que se intercambian en $P$.
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