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Solución:
Una forma simple de entender esto en una dimensión arbitraria es la siguiente (puedes hacerlo riguroso si trabajas un poco, pero dudo que haya una manera de evitar el teorema de la función implícita).
La derivada direccional de $phi$ en el punto $vec r$ y en una dirección $vec u$ está dada por $vec ucdot vec nablaphi$. Es la derivada de $phi(gamma(t))|_t=0$ si $gamma(t)$ es una curva tal que $gamma(0)=vec r$ y $ punto gamma(0)=left.fracdgammadtright|_t=0=vec u$. Si $gamma$ está contenido en la superficie equipotencial, entonces claramente $dot phi=0$ idénticamente, y en particular el gradiente es perpendicular a todos los $vec u$ que son tangentes a la superficie equipotencial.
Para responder a su pregunta sobre la independencia de las coordenadas, el gradiente es un vector. Como tal, es una entidad geométrica que no depende de la elección de coordenadas. Sin embargo, su representación de coordenadas claramente depende de la elección de las coordenadas, pero de una manera simple: una rotación de las coordenadas resultará en una rotación del vector de componentes.
Aquí hay una explicación intuitiva. Sea $p$ cualquier punto. Queremos mostrar que $nabla phi(p)$ es perpendicular a la superficie $phi(x)=phi(p)$ que pasa por $p$. Sea $vec v$ cualquier vector unitario en $p$. Por la regla de la cadena, la derivada direccional de $phi$ en la dirección $vec v$ en $p$ es $$vec v cdot nabla phi(p).$$ Si $vec v$ es tangente a la superficie $phi(x)=phi(p)$, la derivada direccional es $0$ porque $varphi$ es constante en la superficie $phi(x)=phi(p)$. Por lo tanto, esto significa que $vec v$ es perpendicular a $nabla phi(p)$.
Primero, cuando dice que el gradiente es perpendicular al potencial escalar, debe tener claro que realmente quiere decir que es perpendicular al vector normal de la superficie descrita por ese potencial escalar (es decir, $phi(x,y,z )=0$). Un vector no puede ser perpendicular a un escalar, excepto con respecto al vector normal de ese campo escalar.
En algún punto particular (x,y,z), use el teorema de la función implícita para resolver una superficie en función de (x,y), es decir, $z(x,y)$. Entonces el vector normal de esta superficie es definido como el producto vectorial de las dos derivadas parciales, $vecn = fracpartialpartialx([x,y,z(x,y)])times fracparcialparcialy([x,y,z(x,y)]ps
Dado que estos dos vectores forman una base para el plano tangente, y el gradiente se encuentra dentro del plano tangente, entonces el vector gradiente debe ser perpendicular a la superficie normal (porque la normal es el producto cruzado de los vectores en el plano tangente y, por lo tanto, es perpendiculares a vectores en el plano tangente).
$$nabla phi = lim_Sto0frac1Voint_Svecn da una definición del gradiente que no hace referencia a ninguna coordenada en particular. phidS$$ donde $S$ es ‘superficie’ delimitando un ‘volumen’ $V$ con la convención de que, cuando las dimensiones del problema lo implican, $S$ se interpretará como un parche de un 2- D superficie o un arco de curva y $V$ serán análogamente el área o la longitud, respectivamente. Usando esto, puede mostrar que las diferentes formas de calcular el gradiente en diferentes sistemas de coordenadas son iguales.
Como nota al margen, su intuición debería decirle que el gradiente y otras cantidades vectoriales que surgen en las identidades físicas deberían ser independientes de las coordenadas porque, de lo contrario, ciertas leyes físicas cambiarían simplemente cambiando las coordenadas con las que trabaja, lo cual no ocurre. No tiene sentido físico.