La guía paso a paso o código que encontrarás en este artículo es la solución más fácil y válida que hallamos a esta duda o problema.
Solución:
Quizás el examinador pretendía que los estudiantes notaran que el cuadrado está determinado por un triángulo $(3, 4, 5)$, porque $3 + 5 = 4 + 4$ (!):
En consecuencia, como varios otros han señalado, $$ fractextperímetro del círculotextperímetro del cuadrado = frac5 cdot 2pi4 cdot 8 = fracpi3.2 < 1. $$
Para un enfoque menos dependiente de la inspiración, tomando el origen del sistema de coordenadas en el centro de la círculo parece más fácil que colocar el origen en el centro del cuadrado. Sin pérdida de generalidad, suponga que el círculo tiene radio unitario:
Igualando las longitudes de los lados horizontal y vertical del cuadrado en este diagrama, leemos $$ x + 1 = 2yquadtext(o $x = 2y – 1$). $$ Invocando el teorema de Pitágoras y sustituyendo la línea anterior, beginalign* 0 &= x^2 + y^2 – 1 \ &= (2y – 1)^2 + y^2 – 1 \ &= 5y^2 – 4y \ &= y(5y – 4). endalign* Claramente $y neq 0$, entonces $y = 4/5$, $x = 3/5$, y notamos el triángulo favorito del examinador.
Aquí hay una prueba que llega a la relación entre el diámetro del círculo y el lado cuadrado usando triángulos similares en lugar del teorema de Pitágoras:
Dibuja el diámetro del círculo desde $E$; sea el otro extremo de ese diámetro $F$ y cruce el cuadrado en $G$. Entonces, dado que el ángulo $measuredangle EBF$ es un ángulo recto, los triángulos $bigtriangleup EBG$ y $bigtriangleup BFG$ son similares. Obviamente $|EG|=2|BG|$, entonces $|BG|=2|FG|$ (o en otras palabras $|FG|=frac12|BG|$) y entonces $|EF|=|EG| +|FG|=2|BG|+frac12|BG|=frac52|BG|$. A partir de aquí la demostración procede como las demás: el perímetro del cuadrado es $4|EG|=8|BG|$ y la circunferencia del círculo es $pi|EF|=frac5pi2 |BG|$. De $piltfrac165=3.2$, obtenemos $5pilt16$ y $frac5pi2lt 8$, por lo que el perímetro del cuadrado es mayor.
Con respecto al comentario de Abel de que le gustaría ver una prueba menos computacional, considere lo siguiente. Es evidente que la longitud de un lado del cuadrado es $4$ cuadrados pequeños, y la bisectriz perpendicular de $EB$ cruza la línea central horizontal del dibujo $2.5$ cuadrados pequeños desde $E$. Disculpas por el dibujo inexacto.
Más formalmente, si llamamos origen al centro del cuadrado:
EB tiene extremos $(-2,0)$ y $(2,2)$ por lo tanto tiene punto medio $(0,1)$ y gradiente $frac12$.
La bisectriz perpendicular de EB tiene un gradiente $frac-1mathrmgradiente de EB=-2$, por lo que cruza el eje $x$ en $(frac12,0)$
Perímetro de ABCD = $16$
Perímetro del círculo = $2 * pi * 2.5 approx 15.71$
(Me gustó tanto esta respuesta que quería ilustrar paso a paso el proceso de encontrar la ubicación del centro del círculo:
Primero, el centro del círculo se define por la intersección de los diámetros; una es obviamente la línea recta a través de $E$, y la otra es generada por la perpendicular desde el punto medio de $EB$:
Entonces podemos ubicar el punto medio de $EB$ como si estuviera a la mitad del cuadrado y un cuarto hacia abajo desde la parte superior:
Entonces podemos encontrar otro punto en la perpendicular girando el rectángulo desde E hasta el punto medio en un ángulo recto:
Y entonces es obvio que el radio del círculo es $frac58$ el lado del cuadrado.
joffan)