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Solución:
No creo que nunca afirmen que la composición de la extensión radical simple también es una extensión radical. Además, simplemente no creo que sea true. Por ejemplo, no creo que $mathbbQ(sqrt2, sqrt3)$ es una extensión radical simple: su grupo de Galois no es cíclico.
Lo único que afirman es que la composición de las extensiones raíz también es una extensión raíz, y eso es fácil. Supongamos que tenemos dos extensiones raíz: $F = F_0 subconjunto F_1 subconjunto ldots subconjunto F_p$y $F = G_0 subconjunto G_1 subconjunto ldots subconjunto G_q$tal que $F_i+1 = F_i(sqrt[n_i]a_i)$ para algunos $a_i in F_i$y lo mismo para $G_i$. WLOG podemos suponer que $p = q$.
Luego, la composición de $F_p$ y $G_p$ es también una extensión de raíz: ya que $G_1 = G_0(sqrt[k_0]b_0)$, $b_0 in G_0 = F = F_0$. Así, establecemos $H_1 = F_1(sqrt[k_0]b_0) = F_0(sqrt[n_0]a_0)(sqrt[k_0]b_0)$y vemos que $H_1$ es una extensión raíz, y $F_1 subconjunto H_1$, $G_1 subconjunto H_1$ — De hecho, $H_1$ es la composicion de $F_1$ y $G_1$. Del mismo modo, desde $a_1, b_1 en H_1$nosotros fijamos $H_2 = H_1(sqrt[n_1]a_1)(sqrt[k_1]b_1)$y otra vez $H_2$ es una extensión de raíz, y la composición de $F_2$ y $G_2$. Continuando así, obtenemos que $H_p$ es una extensión de raíz y la composición de $F_p$ y $G_p$.