Solución:
Para eso, podemos probar todos los axiomas formulados para números pares. Usaré solo cuatro en este caso.
Nota: En esta pregunta, por el bien de mi pereza, a menudo usaré $ N_e $ para inclusoy $ N_o $ para impar.
Prueba 1:
Un número par es siempre divisible por $ 2 $.
Sabemos que si $ x, y in mathbb {Z} $ y $ dfrac {x} {y} in mathbb {Z}, $ entonces $ y $ es un divisor de $ x $ (formalmente $ y | x $).
Sí, tanto $ 0,2 in mathbb {Z} $ como sí, $ dfrac {0} {2} $ es $ 0 $, que es un número entero. ¡Pasó este con gran éxito!
Prueba 2:
$ N_e + N_e $ resulta en $ N_e $
Probemos con un número par aquí, digamos $ 2 $. Si la respuesta da como resultado un número par, $ 0 $ pasará esta prueba. $ underbrace {2} _ { large {N_e}} + 0 = underbrace {2} _ {N_e} $, ¡así que cero ha pasado este!
Prueba 3:
$ N_e + N_o $ resulta en $ N_o $
$ 0 + underbrace {1} _ {N_o} = underbrace {1} _ {N_o} $
¡Pasé esta prueba también!
Prueba 4:
Si $ n $ es un número entero de paridad $ P $, entonces $ n – 2 $ también será un número entero de paridad $ P $.
Nosotros saber que $ 2 $ es par, entonces $ 2 – 2 $ o $ 0 $ también es par.
Sí, la clasificación de los naturales por su paridad (= módulo resto $ 2 : $) se extiende naturalmente a todos enteros: incluso los enteros son aquellos enteros divisibles por $ 2, , $ es decir $ rm : n = 2m equiv 0 pmod 2, $ y impar los enteros son los que tienen resto $ 1 $ cuando se divide por $ 2, $ es decir $ rm n = 2m ! + ! 1 equiv 1 pmod 2. , $
La efectividad de esta clasificación de paridad surge del hecho de que es compatible con operaciones aritméticas enteras, es decir, si $ rm bar {a} : = a pmod 2 $ luego $ rm overline {a + b} = bar a + bar b, overline {a b} = bar a bar b. : $ Iterando, inferimos que las igualdades entre expresiones compuestas por estas operaciones enteras (es decir, expresiones polinómicas enteras) son Preservado tomando sus imagenes modulo $ 2 , $ (y lo mismo mod $ rm m , $ para cualquier entero $ rm m, , $ p.ej $ $ modificación $ 9 , $ rendimientos de reducción $ $ echando nueves). De esta manera, podemos esforzarnos por comprender mejor los números enteros estudiando sus imágenes en los anillos más simples (¡finitos!) $ rm : mathbb Z / m , = , $ modulo de enteros $ rm m. : $
Por ejemplo, si un polinomio de coeficientes enteros tiene una raíz entera $ rm P (n) = 0 $ Entonces eso persiste como mod de raíz $ 2, , $ es decir $ rm P ( bar n) equiv 0 (mod 2), , $ por la regla de congruencia polinial. Por tanto, de manera contrapositiva, si un polinomio no tiene raíces módulo $ , 2 , $ entonces no tiene raíces enteras. Esto conduce a la siguiente simple
Prueba de raíz de paridad $ $ Un polinomio $ rm : P (x) : $ con coeficientes enteros no tiene raíces enteras
cuando su coeficiente constante $ , rm P (0) , $ y suma de coeficientes $ , rm P (1) , $ ambos son extraños.
Prueba $ $ La prueba verifica que $ rm P (0) equiv P (1) equiv 1 (mod 2), $ es decir, eso $ rm : P (x) : $ no tiene raíces mod $ 2 $, por lo tanto, como se argumentó anteriormente, no tiene raíces enteras. $ quad $ QED
Entonces $ rm , ax ^ 2 ! + bx ! + c , $ no tiene raíces enteras si $ rm , c , $ es extraño y $ rm , a, b , $ tener igual paridad $ rm , a equiv b pmod 2 $
Compare la concisión de esta prueba con la complicada reformulación que resultaría si tuviéramos que restringirla a números enteros positivos. Entonces ya no podríamos representar ecuaciones polinomiales en la forma normal $ rm : f (x) = 0 : $ sino, más bien, tendríamos que considerar las igualdad generales $ rm : f (x) = g (x) : $ donde ambos polinomios tienen positivo coeficientes. Ahora la prueba sería mucho más complicada: se bifurcaría en casos abigarrados. De hecho, históricamente, antes de la aceptación de los números enteros negativos y el cero, la fórmula para la solución de una ecuación cuadrática se enunciaba de una manera tan análoga y confusa, que involucraba muchos casos. Pero al extender los naturales al anillo de los enteros, podemos unificar lo que antes eran varios casos separados en un solo universal método para resolver una ecuación cuadrática general.
Existen ejemplos análogos a lo largo de la historia que ayudan a motivar las razones detrás de varias ampliaciones del sistema numérico. El estudio de la historia matemática ayudará a comprender mejor las motivaciones detrás de las sucesivas ampliaciones de la noción de “sistemas numéricos”, por ejemplo, ver Kleiner: De números a anillos: la historia temprana de la teoría de anillos.
Lo anterior es sólo uno de los muchos ejemplos en los que “completar” una estructura de alguna manera sirve para simplificar su teoría. Tales ideas motivaron muchas de las extensiones de los sistemas numéricos clásicos (así como el concepto de compleciones geométricas y topológicas análogas, por ejemplo, puntos contiguos en $ infty $, cierre proyectivo, compactación, terminación de modelos, etc.). Para algunas exposiciones interesantes sobre tales métodos, consulte las referencias aquí.
Nota $ : $ Observaciones análogas (sobre el poder obtenido al normalizar ecuaciones a la forma $ ldots = 0 : $) son verdaderas de manera más general para cualquier estructura algebraica cuyas congruencias están determinadas por ideales – los llamados ideal determinado variedades, por ejemplo, vea mi publicación aquí y vea Gumm y Ursini: ideales en álgebras universales. Sin cero y números negativos (inversos aditivos) no podríamos reescribir expresiones en formas normales tan concisas y no tendríamos disponibles algoritmos tan poderosos como el algoritmo de base de Grobner, formas normales de Hermite / Smith, etc.
Este problema surgió, por ejemplo, durante la prohibición de automóviles pares impares de Beijing para los Juegos Olímpicos de 2008, donde los automóviles con matrículas impares fueron prohibidos un día y luego incluso al día siguiente.
La elección es entre:
- 0 es par y no impar,
- 0 es impar y no par,
- 0 es par e impar,
- 0 no es ni par ni impar (como infinito o $ pi $) o
- A 0 se le asigna un título único (como la forma en que 1 llama una “unidad”, ni principal ni compuesta).
Esto es una cuestión de definición, por lo que si bien podría definir 0 como cualquiera de los anteriores, es mejor elegir la definición que será la más consistente con el uso de “pares” e “impares” para números distintos de 0.
Sea $ W = {2,4,6, ldots } $, $ V = {1,3,5, ldots, } $ y veamos las propiedades de los números pares e impares en estos conjuntos que con los que estamos familiarizados.
- Un número es par o impar, y no ambos.
- Si $ w, x in W $ entonces $ w + x in W $ (par + par = par).
- Si $ w en W $ y $ v en V $ entonces $ w + v en V $ (par + impar = impar).
- Si $ y, v en V $ entonces $ y + v en W $ (impar + impar = par).
[and probably many others I’ve forgotten to write here]
Por lo tanto, sería deseable que cualquiera que sea la definición que elijamos para 0, conserve las propiedades anteriores. Ahora digamos que dejamos que 0 sea impar (el segundo y tercer caso enumerados anteriormente). Entonces nuestra definición no es consistente con estas propiedades. Entonces, si elegimos definir 0 como impar, deberíamos tener algunos beneficios sustanciales para compensar las pérdidas. Por otro lado, definir 0 como par y no impar es coherente con las propiedades anteriores.
Las dos últimas definiciones candidatas básicamente dicen que no hay una manera consistente de definir par o impar como 0. Pero en este caso, hay – 0 es par y no impar.
[Note: We also have the property that elements of W are all divisible by 2, but whether or not 0 is divisible by 2 is another matter of definition, for which we should again apply the “which is the most sensible definition” concept.]