Este dilema se puede solucionar de diferentes formas, sin embargo te enseñamos la que para nosotros es la resolución más completa.
Solución:
Observa eso $ángulo OPA=ángulo PAO=fracalpha2=ángulo BAPimplica OPparalelo AB$. De este modo $$fracCOOA=fracCPPBiff frac dR=frac2016=frac54$$ Además, la potencia de un punto produce $$beginalign*textPow(C)_(APB)=lvert d^2-R^2rvert&=20cdot 36\iff leftlvertleft( frac54Rright)^2-R^2rightrvert&=720\iff frac916R^2&=720\iff R&= 16sqrt5 endalign*$ ps Usar $OPparalelo AB$ de nuevo para inferir
$$AB=Rcdot frac3620=16sqrt5cdot frac95=frac144sqrt55$$
$ángulo POC = ángulo A$asi que $triángulo COP sim triángulo CAB$
Por eso $fracRAB = frac2036 = frac59$ …(i)
$ángulo APB = frac12 ángulo AOB = 90^0 – ángulo A$
$AB = 2R sin angle APB = 2R cos A$
Entonces de (i), $fracR2R cos A = frac59$
$cos A = frac910 = 1 – 2 sin^2fracA2 implica sin fracA2 = frac1 2sqrt5 $
$16 = 2R sin fracA2 implica R = 16sqrt5 $
$AB = 2R cos A = 32sqrt5 times frac910 = frac144sqrt5$
Solución alternativa que no usa trigonometría ni potencia de un punto:
Ya te diste cuenta de eso $OP paralelo AB$así que dibuja dos líneas perpendiculares $OQ$ y $BR$.
Deja que los radios $OA = OB = OP = 10x$.
Ya que $triángulo ABC sim triángulo OPC$tenemos $AB = frac20+1620 cdot OP = 18x$asi que $AQ = BQ = 9x$.
Por lo tanto, $OQ = sqrtOA^2 – AQ^2 = sqrt19 x$asi que $BR = sqrt19 x$.
$RP = OP – O = 10x – 9x = x$.
$BP = sqrtBR^2 + RP^2 = 2 sqrt5 x$.
Dado que $BP = 16$concluimos que $x = frac162sqrt5 = frac85 sqrt5$.
Finalmente, $AB = 18 cdot frac85 sqrt5 = frac1445 sqrt5$.
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