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Solución:
El ajedrez es un juego de suma cero, por lo que todos los equilibrios de Nash conducirán al mismo de tres resultados: las blancas ganan. El negro gana. Dibujar. Por el teorema de Zermelo, en el primer caso las blancas pueden forzar la victoria. En el segundo caso, las negras pueden forzar una victoria. En el tercer caso, ambos pueden forzar un empate.
No se sabe qué caso se cumple, pero en los dos primeros casos habrá muchos equilibrios de Nash (un continuo completo). Si un jugador juega una estrategia que le garantiza una victoria, su estrategia combinada con cualquier estrategia del otro jugador juntos constituirán un equilibrio de Nash. Incluso si ambos jugadores pueden forzar un empate, puede haber varias formas de hacerlo.
Entonces, en conclusión, el ajedrez tiene probablemente más de un equilibrio de Nash. Si solo hay un equilibrio de Nash, terminará en empate.
Observación: Zermelo no usó inducción hacia atrás y su prueba no se basó en que el ajedrez tuviera una regla de parada.
Los equilibrios encontrados a través de la inducción hacia atrás son equilibrios perfectos en subjuegos, es decir, son equilibrios de Nash de todos los subjuegos. Esto elimina las amenazas y promesas irracionales no creíbles – ya que el niño se hace daño llorando, sin ganar nada, es irracional llorar; por lo tanto, la amenaza de llorar es irrelevante si ambos jugadores asumen que el otro jugador actuará racionalmente. El equilibrio de Nash en el que el padre compra el helado no es un equilibrio de Nash en el subjuego posterior a la elección de compra; es la mejor respuesta para el padre solo si el padre cree que el niño puede llevar a cabo una amenaza de actuar irracionalmente (lo que presumiblemente la mayoría de los padres se inclinarían a creer).
No hay amenazas ni promesas irracionales en un juego de suma cero como el ajedrez, ya que, por definición, no existe una situación en la que un jugador pueda lastimar a otro mientras se lastima a sí mismo. Sin embargo, como señaló Michael, incluso en un juego de suma cero, un equilibrio de Nash no necesita ser perfecto en subjuegos y, por lo tanto, no es necesario encontrarlo por inducción hacia atrás, porque una estrategia de mejor respuesta puede implicar movimientos irracionales en subjuegos que son irrelevantes para el resultado. porque en realidad nunca se juegan.
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