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Solución:
La función de Weierstrass es continua en todas partes y diferenciable en ninguna.
La función de Dirichlet (la función indicadora de los racionales) no es continua en ninguna parte.
Una modificación de la función de Dirichlet es continua en todos los valores irracionales y discontinua en los valores racionales.
La escalera del diablo es uniformemente continua pero no absolutamente. Aumenta de 0 a 1, pero la derivada es 0 en casi todas partes.
Además: función Conway base 13.
Esta función tiene las siguientes propiedades.
1. En cada intervalo cerrado PS[a, b]PS, toma cada valor real.
2. Es continuo en ninguna parte.
Aquí hay un ejemplo de una función estrictamente creciente en ℝ que es continua exactamente en los irracionales.
Elija su serie favorita absolutamente convergente ∑anorte en el que todos los términos son positivos (el mío es ∑1 / 2norte) y su enumeración favorita de los racionales positivos: ℚ = q1, q2, …. Para un número real x, defina f (x) como la suma de todos los anorte para lo cual qnorte ≤ x.