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Solución:
Aquí está mi visión sesgada de un ejemplo simple: los dos toros. Todo lo que sé sobre la simetría especular homológica se deriva de este ejemplo.
Debido a que el ejemplo es unidimensional, una forma simpléctica es solo una forma de área, y los lagrangianos son simplemente curvas, y los mapas holomórficos que forman parte de la categoría Fukaya son simplemente discos topológicos. (Mediante la uniformización de las superficies de Riemann, hay un mapa holomórfico para cada disco topológico que satisface las condiciones de contorno apropiadas). Aún mejor, puede ir a la cobertura universal, que es $ R ^ 2, $ y simplemente dibujar lagrangianos como líneas rectas con pendiente racional. Los discos holomorfos que determinan las composiciones en la categoría son simplemente triángulos.
En el lado del espejo, estamos hablando de una curva compleja de dos toros o elíptica. Un objeto típico sería un paquete de líneas en la curva elíptica, como el paquete de líneas theta, cuyas secciones son funciones theta, una vez que las elevamos al plano complejo.
El doble toro tiene fibras circulares sobre un círculo base, y la curva elíptica está formada por fibras circulares por el círculo dual (es decir, $ U (1) $ sistemas locales en el círculo original). A esto se le llama dualidad T, y explica cómo construir la equivalencia de espejo que va de lagrangianos a haces de líneas, o viceversa. Por ejemplo, el $ y = 0 $ lagrangiano representa una familia de sistemas locales $ U (1) $ triviales, correspondientes al conjunto de líneas holomórficas triviales cuyas secciones son solo funciones holomórficas. El lagrangiano $ y = nx $ corresponde a un conjunto de líneas de grado $ n $. Después de hacer estas definiciones, se comprueba que las composiciones coincidan.
La simetría de espejo proporciona algunas conexiones notables entre ciertas variedades. El primer paso a este respecto es que ciertos grupos de homología tengan el mismo rango. Un caso explícito para los duales de simetría especular es el caso de las variedades tóricas. En este caso, los objetos duales provienen de la dualidad de politopos. Entonces, la dualidad de los politopos: asociar el octaedro al cubo y el icosahederón al dodecahederón está relacionado con la simetría especular.
Quizás los primeros hechos sobre los politopos que demuestran igualdades inesperadas para ciertas homologías pueden describirse de la siguiente manera:
Para politopos bidimensionales, este es el siguiente hecho numérico: Un polígono tiene el mismo número de aristas que el dual. (Bueno, esto no es tan inesperado).
Para el politopo P de 4 dimensiones, es el siguiente hecho numérico. Comience con un politopo 4 con n vértices ye aristas e. Triangular cada 2 caras mediante diagonales que no se crucen. Dejar $ e ^ + $ sea el número de aristas, incluidas las diagonales añadidas. Considere la cantidad
$$ gamma (P) = e ^ + – 4n. $$
Está true que por cada par dual de 4 politopos $ P $ y $ P ^ * $,
$$ gamma (P ^ *) = gamma (P). $$
Esto es más sorprendente.
Por ejemplo, sea P el politopo cruzado de 4 dimensiones y Q el cubo de 4 dimensiones. P tiene 8 bertices 24 aristas y todas las 2 caras son triángulos, por lo que $ gamma (P) = 24 ~ – ~ 4 cdot 8 ~ = ~ -8 $. El Q de 4 cubos tiene 16 vértices y 32 aristas y también tiene 24 2 caras que son cuadrados, por lo que $ e ^ + (Q) = 56 $. $ gamma (Q) = 56-64 = -8 $. ¡Voila!
Esto refleja algunas propiedades de las variedades tóricas (igualdades inesperadas entre los números de Hodge) que expresan (una especie de paso 0 de) simetría especular.
Entrada de blog relacionada: una misteriosa relación de dualidad para politopos de 4 dimensiones; Artículos relacionados: V. Batyrev y L. Borisov, Mirror duality and string-números teóricos de Hodge; V. Batyrev y B. Nill, Aspecto combinatorio de la simetría especular. Aquí hay una conferencia de B. Nill.
Otra manifestación de la simetría especular de naturaleza combinatoria, que se puede formular en palabras simples, es en términos de la forma típica de varias clases de particiones. Lo mencioné en un comentario anterior y permítanme citar una descripción tomada de mi libro de aventuras.
Una partición es solo una forma de escribir un número como suma de otros números. Como 9 = 4 + 2 + 1 + 1 + 1. Las particiones han atraído a los matemáticos durante siglos. Entre otros, el famoso matemático indio Ramanujan era bien conocido por sus identidades con respecto a las particiones. Y ahora entra otra idea, dejando al descubierto los nombres de Ulam, Vershik, Kerov, Shepp y otros que estudiaron las particiones como objetos estocásticos. En particular, se descubrió que “la mayoría” de las particiones, digamos de un número n, tienen una “forma típica”.
La imagen emergente dibujada por Okounkov y sus coautores es más o menos así: una “variedad algebraica” (una variedad de algún tipo) que participa en un cierto string La teoría está relacionada con una clase de particiones, y cuando consideramos la forma típica de una partición en la clase, esto nos da otra variedad algebraica y, he aquí, la forma típica ES la imagen especular de la original. Las relaciones espejo se traducen en resultados asintóticos sobre el número de particiones, algo en el espíritu de las famosas fórmulas asintóticas de los matemáticos Hardy y Ramanujan para p (n) – el número total de particiones para el número n.
Como se mencionó en los comentarios, no estoy seguro de las buenas referencias a esta conexión entre la simetría especular y las formas límite de las clases de particiones. El artículo de 2003 Quantum Calabi-Yau y los cristales clásicos de Andrei Okounkov, Nikolai Reshetikhin y Cumrun Vafa describe esta conexión en la Sección 2.3 llamada “simetría especular y forma límite”.
Aquí está el ejemplo más simple que se me ocurre …
El anillo de cohomología ordinario de $ mathbb CP ^ n $ viene dado por $ mathbb C[a]/ (a ^ n + 1) $. Se puede pensar que la estructura de este anillo describe la teoría de la intersección de subvariedades / subvariedades / subespacios lineales de $ mathbb CP ^ n $. Por ejemplo, la relación $ a ^ 3 cdot a ^ 3 = 0 $ en el anillo de cohomología de $ mathbb CP ^ 5 $ refleja el hecho de que la intersección de dos subespacios genéricos de dimensión 2 de $ mathbb CP ^ 5 $ está vacío.
Ahora, el anillo de cohomología cuántica de $ mathbb CP ^ n $ es $ mathbb C[a]/ (a ^ n + 1 – q) $, donde podemos pensar en $ q $ como una constante distinta de cero, o un parámetro formal si lo desea. El anillo de cohomología cuántica es una deformación (en un sentido adecuado) del anillo de cohomología ordinario. La estructura del anillo deformado ahora codifica información de “geometría enumerativa”. Por ejemplo, es un hecho que dados los subespacios lineales genéricos $ A, B, C $ de $ mathbb CP ^ n $ de la dimensión total $ n-1 $, existe un mapa de grado 1 único $ mathbb CP ^ 1 to mathbb CP ^ n $ enviando los puntos $ 0,1, infty $ a $ A, B, C $ respectivamente. Escribiendo $ q $ como $ 1 cdot q ^ 1 $, el coeficiente $ 1 $ corresponde a la unicidad del mapa y el exponente $ 1 $ corresponde al grado del mapa. Me gusta pensar en esto como una generalización del hecho de que hay una línea única que pasa por dos puntos distintos en el plano, que se conoce desde al menos Euclides … 🙂
Pero hasta ahora no he dicho nada sobre “simetría de espejo” …
La simetría de espejo dice que la historia que describí anteriormente se refleja en ciertas propiedades de la función $ W = x_1 + cdots + x_n + frac q x_1 cdots x_n $ en $ ( mathbb C ^ ast) ^ n $. Por ejemplo, el anillo jacobiano de $ W $, que por definición es el anillo $ mathbb C[x_i^pm 1]/ ( partial_i W) $, es isomorfo a $ mathbb C[a]/ (a ^ n + 1 – q) $.
EDITAR: La relación entre $ mathbb CP ^ n $ y $ W $ es mucho más profunda. Para otra declaración de simetría de espejo elemental (-ish), existe la prueba de Seidel (¿creo?) De que la categoría derivada de $ mathbb CP ^ n $ es equivalente a la categoría de Fukaya-Seidel de $ W $. En este caso, estas categorías se pueden describir con bastante facilidad, sin demasiado lenguaje sofisticado, mediante el “carcaj de Beilinson”, que en el lado de la categoría derivada corresponde a los paquetes de líneas $ mathcal O, mathcal O (1) , cdots, mathcal O (n) $ y el hecho de que hay un $ (n + 1) $ – conjunto dimensional de morfismos desde $ mathcal O (i) $ a $ mathcal O (i + 1) $. Por ejemplo, considere los morfismos de $ mathcal O $ a $ mathcal O (1) $; estas son solo las secciones de $ mathcal O (1) $, que son los polinomios homogéneos de grado 1 en $ n + 1 $ variables.
En el otro lado, se puede ver el carcaj de Beilinson a través de los “ciclos de desaparición” $ L_0, L_1, dots, L_n $ de $ W $, y los $ n + 1 $ -muchos morfismos de arriba corresponden a $ n + 1 $ puntos de intersección entre $ L_i $ y $ L_ i + 1 $. Para obtener más información sobre esto, consulte las notas de la charla de Bohan Fang aquí y este artículo de Seidel.
Este tipo de correspondencia entre haces de vectores y ciclos, y entre morfismos de haces de vectores y puntos de intersección de ciclos, es una primera aproximación de la simetría especular homológica o simetría especular “categórica”. Para una mejor aproximación, la afirmación es que las composiciones de morfismos de haces de vectores corresponden a “composiciones” de puntos de intersección, donde estas “composiciones” se definen a través de $ J $ -discos holomórficos. Pero para la curva elíptica / toro simpléctico, las cosas siguen siendo bastante simples, y uno puede evitar decir la palabra “$ J $ -disco holomórfico” si se desea. En esta situación, la correspondencia entre composiciones se reduce a una correspondencia entre algunos hechos clásicos sobre funciones theta en curvas elípticas y algunas observaciones muy elementales sobre líneas y triángulos en un toro.
Y finalmente, aquí está el ejemplo más trivial de simetría especular. Sea $ X $ un punto $ operatorname Spec mathbb C $. Entonces el espejo de $ X $, llámelo $ Y $, también es un punto. Observe que el punto es una subvariedad lagrangiana de $ Y $. Observe que el punto que se cruza con el punto es el punto. Por otro lado, tome $ mathbb C $ como un módulo $ mathbb C $ -. Luego hay un conjunto unidimensional de $ mathbb C $ – morfismos de módulo desde $ mathbb C $ a $ mathbb C $.
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