Este dilema se puede tratar de variadas formas, pero en este caso te enseñamos la resolución más completa en nuestra opinión.
Solución:
Estos son solo algunos de los muchos usos de los autovectores y autovalores:
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Uso de la descomposición de valores singulares para la compresión de imágenes. Esta es una nota que explica cómo puede comprimir una imagen desechando los pequeños valores propios de $ AA ^ T $. Toma una imagen de $ 8 $ megapíxeles de un Allosaurus y muestra cómo se ve la imagen después de comprimirse seleccionando $ 1 $, $ 10 $, $ 25 $, $ 50 $, $ 100 $ y $ 200 $ de los valores singulares más grandes.
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Derivar la relatividad especial es más natural en el lenguaje del álgebra lineal. De hecho, el segundo postulado de Einstein realmente establece que “la luz es un vector propio de la transformada de Lorentz”. Este documento repasa la derivación completa en detalle.
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Agrupación espectral. Ya sea en plantas y biología, imágenes médicas, negocios y marketing, comprender las conexiones entre campos en Facebook o incluso criminología, la agrupación es una parte extremadamente importante del análisis de datos moderno. Permite a las personas encontrar subsistemas o patrones importantes dentro de conjuntos de datos ruidosos. Uno de esos métodos es la agrupación espectral que utiliza los valores propios de un gráfico de una red. Incluso el vector propio del segundo valor propio más pequeño de la matriz laplaciana nos permite encontrar los dos conglomerados más grandes en una red.
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Reducción de dimensionalidad / PCA. Los componentes principales corresponden a los valores propios más grandes de $ A ^ TA $ y esto produce la proyección de mínimos cuadrados en un hiperplano dimensional más pequeño, y los vectores propios se convierten en los ejes del hiperplano. La reducción de la dimensionalidad es extremadamente útil en el aprendizaje automático y el análisis de datos, ya que permite comprender de dónde proviene la mayor parte de la variación en los datos.
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Factorización de rango bajo para predicción colaborativa. Esto es lo que Netflix hace (o hizo una vez) para predecir qué calificación tendrá para una película que aún no ha visto. Utiliza la SVD y descarta los valores propios más pequeños de $ A ^ TA $.
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El algoritmo de Page Rank de Google. El vector propio más grande del gráfico de Internet es cómo se clasifican las páginas.
En teoría de control y sistemas dinámicos tienes descomposición modal, que es una herramienta muy útil para crear rápidamente la ecuación dinámica para un sistema dado (la vida real)
Dado un sistema de ecuación diferencial:
$ dot x (t) = Ax (t) $, $ x (0) = x_o $, $ A $ tiene valores propios distintos
Entonces la solución a esta ecuación se da como:
$ x (t) = sum limits_ i = 1 ^ n c_ie ^ lambda_it v_i $
donde $ c_i $ son el coeficiente correspondiente a la condición inicial $ x (0) $, $ v_i $ es el $ i $ ésimo vector propio y $ lambda_i $ es el $ i $ ésimo valor propio, no hace falta decir $ v_i, lambda_i $ forma un par
La interpretación física es que la solución corresponde a la respuesta natural / no forzada del sistema y se utiliza para analizar modelos de puentes, circuitos RC, masa-resorte-amortiguador, suspensión magnética, dinámica de fluidos, acústica, modelos de neuronas …
Además, podemos observar el valor propio de la matriz $ A $ para determinar la estabilidad del sistema. Si todos los valores propios se encuentran en el semiplano izquierdo abierto, entonces la matriz $ A $ se conoce simplemente como Hurwitz (un resultado de álgebra lineal completamente separado del sistema dinámico), y el sistema es asintóticamente estable. De lo contrario, tendrá un estado que nunca llega a cero o explotará a medida que el tiempo llegue al infinito.
Este resultado es extremadamente conocido, pero tiene diferentes nombres, en algún campo esto se conoce simplemente como el problema de vector propio-valor propio: http://jupiter.math.nctu.edu.tw/~tshieh/teaching/Math254_summerI2009/MAth254_summer_note/ lecture16.pdf http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/RealEigenvalues.aspx https://see.stanford.edu/materials/lsoeldsee263/11-eig.pdf
También puede consultar referencias básicas sobre ODE, como Boyce y DiPrima
En la vida real, usamos efectivamente vectores propios y valores propios a diario, aunque de forma subconsciente la mayor parte del tiempo.
Ejemplo 1: Cuando ve una película en la pantalla (TV / cine, ..), aunque la (s) imagen (s) / película que ve es en realidad 2D, no pierde mucha información del mundo real en 3D que está capturando. Esto se debe a que el vector propio principal está más hacia el plano 2D, la imagen está siendo capturada y nuestro cerebro infiere automáticamente cualquier pequeña pérdida de información (profundidad). (razón por la que la mayoría de las veces tomamos fotos con la cámara que nos mira directamente, no desde la parte superior de la cabeza). Cada escena requiere que se realcen ciertos aspectos de la imagen, esa es la razón por la que el hombre / mujer cámara elige su ángulo de cámara para capturar la mayoría de esos aspectos visuales. (aparte del color del traje, la escena de fondo y la música de fondo)
Ejemplo 2: Si come pizza, papas fritas, … o cualquier alimento … normalmente está traduciendo su sabor en agrio, dulce, amargo, salado, picante, etc … componentes principales del sabor, aunque en En realidad, la forma en que se prepara un alimento se formula en términos de las proporciones de los ingredientes (azúcar, harina, mantequilla, etc.) decenas de cientos de cosas que se utilizan para preparar un alimento específico) … Sin embargo, nuestra mente transformará toda esa información. en los componentes principales del gusto (vector propio que tiene ácido, amargo, dulce, picante, ..) automáticamente junto con la textura y el olor de los alimentos. Por lo tanto, usamos vectores propios todos los días en muchas situaciones sin darnos cuenta de que así es como aprendemos sobre un sistema de manera más efectiva. Nuestro cerebro simplemente transforma todos los ingredientes, métodos de cocción, producto alimenticio final en un vector propio muy efectivo cuyos elementos son las subpartes del gusto, el olfato y la apariencia visual internamente. (Todos los ingredientes y sus cantidades junto con el procedimiento de cocción representan alguna matriz de transformación A y podemos encontrar algunos vectores propios principales V con elementos como sabor + olor + apariencia + tacto que tienen alguna transformación lineal directamente relacionada. AV = wV, donde w representan valores propios escalares y V un vector propio) (los mejores catadores de vinos probablemente tienen un vector propio de sabor + olor + apariencia más grande y también con valores propios mucho más grandes en cada dimensión. Este concepto puede extenderse a cualquier campo de estudio).
Ejemplo 3: si tomamos fotografías de una persona desde muchos ángulos (frontal, posterior, superior, lateral …) a diario y nos gustaría medir los cambios en todo el cuerpo a medida que uno crece, … podemos obtener el la mayor parte de la información proviene del ángulo frontal con el eje de la cámara perpendicular a la línea que va desde la coronilla de la cabeza hasta un punto que pasa entre los pies. Este ángulo de eje / cámara captura la información más útil para medir los cambios externos del cuerpo físico de una persona a medida que avanza la edad. Este eje se convierte en un vector propio principal con los valores propios más grandes. (Nota: los datos / imágenes que capturamos directamente desde la parte superior de la persona pueden dar información muy menos útil en comparación con la cámara directamente frente a él / ella en esta situación. Esa es la razón por la que usamos la técnica PCA-Princial Component Analysis en determinar los vectores propios más efectivos y los valores propios relacionados para capturar la mayor parte de la información necesaria sin preocuparse por todos los ejes restantes de captura de datos).
Espero que esto ayude a comprender por qué y cómo usamos vectores propios y valores propios para una mejor percepción en todo lo que hacemos en el día a día. Los vectores propios representan aquellos ejes de percepción / aprendizaje a lo largo de los cuales podemos conocer / comprender / percibir las cosas que nos rodean de manera muy eficaz.
Finalmente, se reduce a las diferencias entre persona a persona, en la construcción / refinamiento consciente / subconsciente de dichos vectores propios principales y valores propios relacionados, en cada campo de aprendizaje que diferencia a una persona de otra. (ej: músicos, artistas, científicos, matemáticos, camarógrafos, directores, profesores, médicos, ingenieros, padres, corredores de bolsa, predicción del tiempo, ….)
Si te animas, tienes la opción de dejar un tutorial acerca de qué le añadirías a este escrito.