Nuestros mejores investigadores han agotado sus reservas de café, por su búsqueda noche y día por la resolución, hasta que Diego encontró el hallazgo en Gitea y ahora la comparte con nosotros.
Solución:
Aquí hay una breve lista de técnicas para encontrar grupos fundamentales:
- Encuentre una retracción de deformación a un espacio para el que se conoce el grupo fundamental
- El teorema de Seifert-Van Kampen
- Utilice espacios de cobertura y los teoremas de elevación de trayectoria / homotopía (consulte Munkres para este material)
Aquí hay una breve lista de ejemplos que puede estudiar. Intente probar cada uno usando las 3 técnicas. En mi opinión, la tercera vía suele ser la más difícil y solo puedo usarla para probar ejemplos simples.
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El círculo, el $ 2 $ -torus, $ S ^ 1 times S ^ 1 times cdots times S ^ 1 $
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$ mathbb R ^ n $, $ mathbb R ^ n $ con un punto eliminado, $ mathbb R ^ n $ con $ k $ puntos eliminados, $ mathbb R ^ n $ con una línea eliminada, $ mathbb R ^ n $ con varias líneas eliminadas, $ mathbb R ^ n $ con un círculo eliminado, $ mathbb R ^ n $ con un círculo y una línea eliminados, etc.
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La esfera $ n $, la esfera $ n $ con puntos $ k $ eliminados, la esfera $ n $ con un círculo eliminado, la esfera $ n $ con una esfera de $ 2 $ eliminada, la esfera $ n $ -esfera con una $ k $ -esfera eliminada, etc.
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El toro con un punto eliminado, el toro con un número arbitrario de puntos eliminado, el toro sólido, el género orientable $ 2 $ -superficie, el género orientable $ n $ -superficie, las superficies no orientables, el género orientable $ 2 $ – superficie con un punto eliminado, etc.
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El complemento del unnudo en $ mathbb R ^ 3 $. El complemento del trébol en $ mathbb R ^ 3 $. El complemento de un nudo arbitrario incrustado en $ mathbb R ^ 3 $.
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El gorro de burla de $ n $ -fold
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Espacio proyectivo real y complejo de dimensiones arbitrarias, un Grassmanian arbitrario $ Gr (n, k) $
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Algunos de los grupos de matrices, $ GL (n, mathbb R) $, $ SL (n, mathbb R) $, $ SO (n, mathbb R) $, $ Sp (2n, mathbb R) $, etc.
Esto es todo en lo que puedo pensar por ahora, pero siento que cualquiera que esté estudiando seriamente la topología algebraica debería intentar resolver estos ejemplos en algún momento.
Si conoce los grupos de trenzas o el espacio de configuración y recientemente está aprendiendo sobre el grupo fundamental, lo siguiente debería dejarlo boquiabierto.
El espacio de configuración de $ n $ puntos en un espacio topológico $ X $ generalmente se define como,
$$ C _ hat n (X) = (z_ 1, …, z_ n) in X ^ n ; $$
Un teorema que puede ser esclarecedor para su comprensión intuitiva de $ C _ hat n (X) $ sería el siguiente:
$$ C _ hat n ([0,1]) = coprod_ i = 1 ^ n! Delta_ i ^ n $$
Donde $ coprod $ denota unión disjunta, y $ Delta_ i ^ n $ denota la $ i ^ th $ copia del $ n $ -simplex $ Delta ^ n $. Vemos que hay $ n! $ $ Delta ^ n $ porque el grupo simétrico (que tiene orden $ n! $) Actúa libremente en $ C _ hat n (X) $, permutando las coordenadas en cada $ vec z = (z_ 1, …, z_ n) en C _ hat n (X) $.
De hecho, podemos definir el espacio orbital $ C_ n (X): = C _ hat n (X) / Sigma_ n $ como espacio de configuración modificado por el grupo simétrico en $ n $ elementos $ Sigma_ n $. Entonces se puede demostrar que $$ pi_ 1 (C _ hat n, vec p) = PB_ n, ; text y ; pi_ 1 (C_ n, tau ( vec p)) = B_ n $$ Dónde, $ tau: C _ hat n (X) rightarrow C_ n (X) $ es un mapa de cobertura con láminas de $ n! $ Llamado proyección espacial de la órbita, y $ PB_ n $ y $ B_ n $ son el grupo de trenzas puro y el grupo de trenzas en las hebras de $ n $, respectivamente .
(i) $ pi_1 ( mathbb R) cong 0 $. Esto se debe a que los espacios equivalentes de homotopía tienen grupos fundamentales isomórficos y el mapa $ h: mathbb R times [0,1], (x, t) mapsto xt $ es un retracto de deformación mapeando todo $ mathbb R $ al espacio de un punto $ 0 $ y el grupo fundamental de un espacio de un punto es trivial.
(ii) $ pi_1 (S ^ 1) cong mathbb Z $. Puedes ver esto observando que $ varphi: [0,1] to S ^ 1, t mapsto e ^ 2 pi it $ es un generador del grupo fundamental, es decir, $ pi_1 (S ^ 1) $ es cíclico con $[varphi]^ n = [varphi_n]$ donde $ varphi_n (t) = e ^ 2 pi i nt $. Para obtener una prueba, consulte, por ejemplo, la Introducción de Lee a los colectores topológicos, página 181.
(iii) El espacio de la figura ocho: $ pi_1 (S ^ 1 vee S ^ 1) = mathbb Z ast mathbb Z $. Para ver esto, puede usar el teorema de van Kampen para obtener un isomorfismo $ varphi: ast_i pi_1 (S ^ 1_i) to pi_1 ( bigvee_i S ^ 1_i) $. Consulte Topología algebraica de Hatcher, pág. 43 para obtener más detalles.
Espero que esto ayude.
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