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Solución:
¿Qué hay de las curvas planas afines? $Phi_n(c,t)=0$ que clasifican $(c,t)$ tal que $t$ es un punto de periodo exacto $n$ bajo iteración del mapa cuadrático $f_c(X)=X^2+c$? Estos son a menudo llamados curvas dinamicas y han sido muy estudiados en los últimos años, especialmente porque describir sus puntos racionales está relacionado con la conjetura de acotación uniforme dinámica. Estas curvas son irreducibles (Bousch) y hay una buena fórmula para su género (Morton) que muestra que el género tiende al infinito. Incluso hay algún trabajo (Poonen, Doyle, …) que muestra que la gonalidad también crece. Para la construcción básica, puede ver, por ejemplo, las Secciones 4.1 y 4.2 de mi libro. La aritmética de los sistemas dinámicos. De manera más general, la gente estudia las curvas dinámicas para $X^d+c$.
(He hecho un poco de trampa, hay que incluir algunos puntos extra en la curva donde el punto $t$ tiene “período formal $n$“, pero el período real es menor que $n$. Esta es la terminología de Milnor.)
Francois Ziegler adelantó la cáustica por reflexión de orden n del círculo en un comentario. De hecho, se sabe que es algebraica. Como se señaló, la curva cáustica de la reflexión de orden n de fuentes puntuales arbitrarias (incluso en el infinito) fue derivada por Holditch “On the nth Caustic, by Reflexion from a Circle”, The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 2, Londres, 1858, págs. 301–322. Este artículo incluye una demostración de que su clase de curvas es de hecho algebraica (consulte la página 322, sección “La ecuación”).
Lamentablemente, esta contribución se subestima/pasa por alto en cierto modo, lo que conduce a redescubrimientos de resultados parciales más adelante. Por ejemplo, el caso de los rayos de luz paralelos (fuente en el infinito) y la fuente puntual de los rayos de luz en el círculo para un orden arbitrario de reflexiones ha sido redescubierto y demostrado que es algebraico por Bromwich “The Caustic, by Reflection, of a Circle”. .” American Journal of Mathematics, 1904, Vol 26, 33-44. Concretamente págs. 43-44. Como señala Bromwich, estos casos son equivalentes a epitrocoides con relaciones de radio dadas.
Como una palabra de precaución con respecto a la naturalidad de la cáustica Holditch. Los rayos se reflejan en diferentes longitudes a medida que aumenta el orden. Esto introduce una discrepancia en el orden entre los rayos del haz de rayos. Entonces, la igualdad de orden en la derivación de Holditch no es física si se tiene en cuenta la distancia de viaje (por ejemplo, a través de una velocidad de viaje finita). Por lo tanto, la curva de reflexión de orden n según Holditch debe dividirse en segmentos de orden diferente para lograr una cáustica física. En resumen, las cáusticas de Holditch contienen toda la información necesaria para recuperar los fenómenos físicos, pero es necesario tener en cuenta las discrepancias en el orden de reflexión (ver Essl “Computación de frentes de onda en un disco I: experimentos numéricos”. Notas electrónicas en computadora teórica Ciencia 161 (2006): 25-41.)
Dada cualquier curva algebraica como reflector, Josse y Pene (“Sobre el grado de cáustica por reflexión”. Communications in Algebra 42.6 (2014): 2442-2475.) dan el orden de la cáustica por reflexión siendo una curva algebraica. Esto da un manejo diferente en el orden de la curva algebraica. Si bien el orden de la cáustica de Holditch está directamente relacionado con el orden de reflexión, aquí entra como el orden del reflector.
Dudo que esto sea lo que buscas, pero el polinomio mínimo para un empaque de $n$
discos congruentes en un cuadrado pueden tener un grado arbitrariamente alto:
Szabó, Péter Gábor, Mihály Csaba Markót, and Tibor Csendes. “Optimización global en geometría: empaquetamiento de círculos en el cuadrado”. En Ensayos y encuestas en optimización global, págs. 233-265. Springer, Boston, MA, 2005. Descarga de PDF.
El polinomio mínimo para $n=13$. p.17 de Szabó et al.
El polinomio mínimo se deriva de una serie de ecuaciones cuadráticas que describen los contactos del círculo. Si estos polinomios “ocurren naturalmente” es una decisión de juicio.
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