Solución:
Si $ {e_n } $ es un conjunto ortonormal (infinito) en un espacio de Hilbert $ H $ luego $ {e_1, e_2, … } $ está cerrado y acotado pero no compacto. No es compacto porque no hay subsecuencia convergente (ya que $ | e_n-e_m | = sqrt2 $ por $ n neq m) $.
Estás en el camino correcto. Si consideramos $ X = left { frac1n: n in Bbb N ^ + right } $ en la topología discreta, entonces podemos dotarla de la métrica $ d: X veces X a Bbb R $ dada por $$ d (x, y) = begin {cases} 0 & x = y \ 1 & text {de lo contrario,} end {cases} $$ que de hecho induce la topología discreta en $ X $ (se llama métrica discreta por esta razón). Luego $ X $ ciertamente está acotado, ya que cualquier bola de radio mayor que $ 1 $ necesariamente incluye todo el conjunto, y ciertamente está cerrado en si mismo (como lo son todos los espacios). Sin embargo, no es compacto, ya que la cubierta abierta por singletons no admite una subcubierta finita, como ha observado. De manera más general, cualquier espacio discreto infinito admite un subespacio adecuado que está cerrado y acotado, pero no compacto (elimine cualquier punto).
Podríamos llegar a las mismas conclusiones si consideráramos $ X $ como un espacio bajo la métrica $$ rho (x, y) = | xy |. $$ En efecto, $ rho $ induce la topología discreta en $ X $, también, y de manera similar encontramos que $ X $ está delimitado por $ rho $.
El truco, aquí, es la limitación. Debe especificar una métrica o alguna otra convención para determinar la delimitación, no solo una topología. Por ejemplo, $ Bbb Z $ considerado como un subespacio de $ Bbb R $ es de hecho discreto, pero si bien está acotado en la métrica discreta, es no acotado en la métrica estándar en $ Bbb R $.
La bola “cerrada” $ lVert x rVert leq 1 $ en cualquier espacio de Banach de dimensión infinita es cerrada y acotada, pero no compacta. Está cerrado porque cualquier punto fuera de él está contenido en una pequeña bola abierta separada de la primera, por la desigualdad del triángulo. Es decir, si $ lVert y rVert = 1 + 2 delta, $ entonces los conjuntos $ lVert x rVert leq 1 $ y $ lVert x – y rVert < delta $ son disjuntos. Por tanto, el complemento de la bola unitaria "cerrada" está abierto y la bola unitaria "cerrada" está realmente cerrada. Pero no compacto si no en dimensiones finitas.