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Solución:
Un ejemplo muy importante de un campo infinito de característica $ p $ es $$ mathbb F _p (T) = left , frac f g , Bigg , $$
las funciones racionales en el indeterminado $ T $ con coeficientes en $ mathbb F _p $ (el símbolo $ mathbb F _p $ es solo un sinónimo de $ mathbb Z / p mathbb Z $ ). En otras palabras, estas son proporciones de polinomios en $ mathbb F _p[T]PS esta es la misma construcción que usamos para hacer $ mathbb Q $ a partir de $ mathbb Z $. El campo $ mathbb F _p (T) $ es infinito porque, por ejemplo, contiene $ 1 $, $ T $, $ T ^ 2 $, $ ldots $, y tiene la característica $ p $ porque contiene $ mathbb F _p $ (alternativamente, porque el núcleo del homomorfismo de anillo único $ mathbb Z to mathbb F _p (T) $ es $ p mathbb Z $.)
Otro ejemplo importante es $ overline mathbb F _p $, el cierre algebraico del campo finito $ mathbb F _p $. Si acepta, por el momento, que cada campo tiene un cierre algebraico (que ciertamente no es una afirmación obvia), entonces el hecho de que no haya campos finitos algebraicamente cerrados significa que el cierre algebraico de un campo de característica $ p $ será tiene que ser un campo infinito de característica $ p $.
Michael Hardy plantea algunas buenas preguntas a continuación.
- ¿Es uno de $ mathbb F _p (T) $, $ overline mathbb F _p $ un subcampo del otro?
- ¿Está $ mathbb F _p (T) $ algebraicamente cerrado?
- ¿Cuál es la relación entre estos dos campos?
Todas estas preguntas están relacionadas. Primero, debemos mirar las definiciones de elemento algebraico, extensión algebraica, campo algebraicamente cerrado y cierre algebraico.
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Dado un campo $ K $ y otro campo $ L $ que contiene $ K $ (es decir, $ L supseteq K $), decimos que $ alpha en L $ es un elemento algebraico superior a $ K $ (o, para abreviar, simplemente que “$ alpha $ es algebraico sobre $ K $”) cuando existe algo (distinto de cero) $ f en K[x]$ tal que $ f ( alpha) = 0 $. Si $ alpha en L $ es no algebraica sobre $ K $, decimos que es trascendental más de $ K $. Wikipedia presenta los siguientes ejemplos (estándar):
- $ sqrt 2 in mathbb R $ es algebraico sobre $ mathbb Q $, porque hay un polinomio distinto de cero $ f in mathbb Q[x]$ (es decir, $ f $ tiene coeficientes racionales) tales que $ f ( sqrt 2) = 0 $; podríamos tomar $ f = x ^ 2-2 $, o $ f = 3x ^ 3-6x $, o cualquier otro polinomio en $ mathbb Q[x]$ con $ sqrt 2 $ como raíz.
- $ pi in mathbb R $ es trascendental sobre $ mathbb Q $, porque no hay un polinomio distinto de cero en $ mathbb Q[x]$ con $ pi $ como raíz; en otras palabras, $ pi $ no satisface ninguna relación algebraica con los números racionales.
- Sin embargo, $ pi $ es algebraico sobre $ mathbb R $, porque hay muchos ejemplos sencillos de polinomios distintos de cero en $ mathbb R[x]$ con $ pi $ como raíz; en primer lugar, $ x- pi $. (Dado cualquier campo $ K $, cualquier $ alpha en K $ es algebraico sobre $ K $ porque $ x- alpha $ es un polinomio en $ K[x]$ que tiene $ alpha $ como raíz. Esto demuestra la importancia de especificar algebraicos (o trascendentales) sobre que campo.)
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La configuración de dos campos $ K $ y $ L $, con $ L supseteq K $, se denomina extensión de campo. Nos referimos a la extensión como una entidad única mediante la expresión $ L / K $ (esto es no un cociente como esto o esto, aunque). Una extensión $ L / K $ es una extensión algebraica cuando cada $ alpha en L $ es algebraico sobre $ K $.
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Un campo $ K $ es algebraicamente cerrado cuando alguno no constante $ f en K[x]$ (es decir, $ f $ es un polinomio de grado $ geq 1 $) tiene una raíz en $ K $.
El requisito de que la raíz esté en $ K $ es el key propiedad. Por ejemplo, cualquier polinomio no constante $ f in mathbb R[x]$ tiene una raíz, pero algunas de ellas (por ejemplo, $ x ^ 2 + 1 $) no tienen ninguna raíz que esté realmente en $ mathbb R $; por tanto, $ mathbb R $ no es algebraicamente cerrado. (El hecho de que $ mathbb C $ es cerrado algebraicamente se refiere a menudo como el teorema fundamental del álgebra). -
Dado cualquier campo $ K $, existe una extensión algebraica $ L / K $ tal que $ L $ es algebraicamente cerrado; tal $ L $ se llama un cierre algebraico de $ K $. Es único hasta el isomorfismo (por lo que a menudo hablamos de “el” cierre algebraico de $ K $), y escribimos $ L = overline K $, oa veces $ L = K ^ text alg PS
Ahora tenemos los conceptos necesarios para comparar y contrastar $ mathbb F _p (T) $ y $ overline mathbb F _p $.
Primero, tenga en cuenta que $ T in mathbb F _p (T) $ es trascendental sobre $ mathbb F _p $ – no hay $ f in mathbb F _p distintos de cero[x]$ tal que $ f (T) = 0 $. Esto es realmente lo que queríamos decir originalmente cuando dijimos que $ T $ es un “indeterminado”: no tiene relación con $ mathbb F _p $, solo lo hemos agregado como un símbolo formal, por lo que la única forma en que puede obtener $$ a_nT ^ n + cdots + a_1T + a_0 = 0 text for a_i in mathbb F _p $$ es si cada $ a_i = 0 $, por lo que no hay un polinomio distinto de cero con coeficientes en $ mathbb F _p $ teniendo $ T $ como raíz. De hecho, cualquier elemento de $ mathbb F _p (T) $ eso no es en sí mismo un elemento de $ mathbb F _p $ (es decir, cualquier cosa que tenga un $ T $) es trascendental sobre $ mathbb F _p $, por el mismo argumento, por lo que la extensión $ mathbb F _p (T) / mathbb F _p $ es realmente super-duper no algebraico.
Sin embargo, cada elemento de $ overline mathbb F _p $ es algebraico sobre $ mathbb F _p $, porque parte de la definición de cierre algebraico incluye que la extensión $ overline mathbb F _p / mathbb F _p $ es algebraico.
Entonces, si tuviéramos $ mathbb F _p (T) subseteq overline mathbb F _p $, entonces tendríamos elementos trascendentales dentro de nuestra extensión algebraica $ overline mathbb F _p / mathbb F _p $, lo cual es una contradicción.
Por otro lado, si tuviéramos $ overline mathbb F _p subseteq mathbb F _p (T) $, entonces tendríamos que hubo algunos $ frac f g en mathbb F _p (T) $ tal que $ frac f g notin mathbb F _p $ y $ frac f g in overline mathbb F _p $ (porque $ overline mathbb F _p $ es infinito y $ mathbb F _p $ es finito), y tendrían que ser algebraicos sobre $ mathbb F _p $, lo que también hemos visto es una contradicción.
Por lo tanto, ni $ mathbb F _p (T) subseteq overline mathbb F _p $ ni $ overline mathbb F _p subseteq mathbb F _p (T) $ .
También es fácil ver que $ mathbb F _p (T) $ no está algebraicamente cerrado; en aras de la simplicidad, establezcamos $ K = mathbb F _p (T) $. Si $ K $ se cerraran algebraicamente, entonces cada $ f no constante en K[x]$ tendría que tener una raíz en $ K $; pero hay muchos $ f $ que no lo hacen, por ejemplo $ f = x ^ 2-T $ (recuerde, $ T en K $, así que no se deje engañar por la existencia de dos indeterminados; esto es como $ x ^ 2-2 $ en $ mathbb Q[x]PS Si el polinomio $ x ^ 2-T $ tiene una raíz $ frac f g en K = mathbb F _p (T) $, entonces $$ left ( frac f g right) ^ 2-T = 0 $$ $$ f ^ 2 = Tg ^ 2 $$ $$ 2 cdot deg (f) = deg (f ^ 2) = deg (Tg ^ 2) = 1 +2 cdot deg (g) $$ que es una contradicción (no puede tener par = impar). Esto refleja la prueba habitual de que no hay $ frac a b in mathbb Q $ tal que $ left ( frac a b right) ^ 2 = 2 $, es decir que $ sqrt 2 $ es irracional; la función $ deg $ es análoga a la función de orden 2-adic. (Como señala Pierre-Yves Gaillard en los comentarios, esto en realidad muestra que $ K (T) $ no está algebraicamente cerrado, por alguna campo $ K $.)
Entonces, en resumen, ¿cuál es la relación entre los campos $ mathbb F _p (T) $ y $ overline mathbb F _p $? Aparte del hecho de que ambas son extensiones de $ mathbb F _p $, no mucho. La extensión $ mathbb F _p (T) / mathbb F _p $ no es algebraica, mientras que la extensión $ overline mathbb F _p / mathbb F _p $ es; de hecho, los únicos elementos que $ mathbb F _p (T) $ y $ overline mathbb F _p $ tienen en común son $ mathbb F _p $ mismo. Ambos son extremadamente importantes en álgebra, teoría de números, geometría algebraica y ambos son ejemplos fundamentales de campos característicos $ p $.
Otra construcción, utilizando una herramienta de la lógica formal: el ultraproducto.
El producto cartesiano de los campos $$ P = Bbb F _p times Bbb F _ p ^ 2 times Bbb F _ p ^ 3 times cdots $$ no es un campo (“no es un modelo de …”) porque tiene cero divisores: $$ (0,1,0,1, cdots) (1,0,1,0 cdots) = (0,0 , 0,0, cdots). $$ La solución está tomando un cociente: sea $ mathcal U $ un ultrafiltro no principal en $ Bbb N $. Defina $$ (a_1, a_2, cdots) sim (b_1, b_2, cdots) $$ cuando $$ n in Bbb N , vert , a_n = b_n in mathcal U . $$ El cociente $ F = P / sim $ será un campo infinito de característica $ p $.
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