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Solución:
Una varilla maciza será más rígida (tanto en torsión como en flexión) que una varilla hueca del mismo diámetro. pero no será mucho más rígido porque casi toda la rigidez proviene de las capas externas de la barra (de esto se trata todo el asunto del segundo momento de área). Entonces, si tiene una cierta cantidad de material para usar (una cierta masa o una cierta masa por unidad de longitud), entonces, en lugar de hacer una barra con él, obtiene una estructura más rígida al hacer un tubo con un diámetro más grande. La compensación entre el diámetro y el grosor de la pared es complicada: los tubos de mayor diámetro con paredes más delgadas tienden a ser más rígidos, pero mucho más frágiles y tienen modos de falla más desagradables (más abruptos), y a medida que las paredes se vuelven muy delgadas, creo que efectivamente se vuelven menos rígidos. nuevamente a medida que se vuelven tan frágiles que colapsan bajo cargas ordinarias.
Pero lo que la gente quiere decir cuando dice que los tubos son más rígidos es que son más rígidos para una cantidad dada de materialno más rígido para un diámetro dado.
(Toda esta área es algo en lo que los ingenieros dedican mucho tiempo a pensar y hay mucha literatura. Lamentablemente, no tengo ningún consejo, ya que lo poco que sé sobre esto proviene de hablar con la gente sobre los cuadros de las bicicletas. y diseño de chasis de automóvil).
Una versión anterior de esta respuesta usó erróneamente el término “fuerza” para significar “rigidez”. Aquí está la diferencia, según tengo entendido (descargo de responsabilidad: no soy ingeniero):
- fuerza le dice en qué punto fallará algo, ya sea por completo o deformándose de alguna manera de la que luego no se recupera (pasando su límite elástico en otras palabras);
- rigidez le dice cómo va la deformación del objeto a medida que se aplica la tensión; es básicamente la pendiente de la sección lineal de la curva de tensión-tensión antes de que se alcance el límite proporcional.
Creo que la definición de fuerza que he usado depende ligeramente del régimen: algunos componentes de ingeniería son diseñado para deformarse permanentemente en uso (piense en las zonas de deformación en los automóviles, por ejemplo), y para esos necesitaría una definición más complicada de fuerza.
Finalmente, debe quedar claro que la rigidez y la resistencia no son lo mismo: algo puede ser muy rígido pero puede tener una tensión máxima bastante baja.
Uno puede cuantificar la respuesta de tfb a través del segundo momento del área de la sección transversal del eje. Deje que el eje $z$ se encuentre a lo largo del eje, y suponga que este último se somete a torsión $tau$ alrededor del eje $z$. Entonces, si la longitud del eje es $ell$, el giro angular $varphi$ a lo largo del eje viene dado por:
$$varphi = fracell,tauG,J_z$$
donde $G$ es el módulo de cortante (que mide la material resistencia a la torsión) y $J_z$ el segundo momento de área. Cuanto mayor sea $J_z$ para la sección transversal, menos pronunciado será el giro.
El segundo momento de área de un disco de radio $r$ alrededor de un eje normal a él y que pasa por su centro es:
$$J_z = pi fracr^42$$
$J_z$ es aditivo para regiones, por lo que para una región en forma de anillo de radio interior y exterior $r_i$ y $r_o$ es $pi fracr_o^4-r_i^42$.
Debería poder ver fácilmente y, si no, puede hacer algunos números para hacerlo: la eliminación de la mayor parte de la parte interna de la sección transversal hace muy poca diferencia en $J_z$ y, por lo tanto, poca diferencia en la rigidez torsional del eje.
Reseñas y puntuaciones
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