Solución:
Respuesta renovada. 2017-07-01
No hay ninguna contradicción porque su análisis solo incluye lo que sucede con la sustancia de trabajo gaseosa en el motor Stirling y descuida un componente crucial del motor llamado regenerador. Si el regenerador no está incluido como un componente del motor cuando realizamos el análisis de eficiencia, entonces no tenemos un dispositivo que califique como un motor térmico operando entre dos temperaturas y, por lo tanto, no deberíamos esperar que cumpla con las normas de Carnot. Teorema como indiqué en la versión original de esta respuesta.
Sin embargo, si tenemos debidamente en cuenta el regenerador, encontramos que la eficiencia del motor es la eficiencia de Carnot.
Por supuesto, todo el análisis aquí es idealizado en el que asumimos, por ejemplo, que no hay pérdidas de energía debido a la fricción en los componentes del motor.
Detalles.
Un motor Stirling es más complejo de lo que parece indicar el diagrama $ P $ – $ V $ dibujado en el enunciado de la pregunta. Si reducimos conceptualmente el motor a su forma más simple, contiene dos componentes fundamentales:
- Sustancia de trabajo gaseosa. Esta es la parte del motor cuyo estado termodinámico viaja a lo largo de la curva en el diagrama $ P $ – $ V $.
- Un regenerador. Esta parte del motor absorbe y almacena la energía cedida por la sustancia de trabajo gaseosa por transferencia de calor durante el proceso $ 2 a 3 $ y luego devuelve esa misma energía a la sustancia de trabajo gaseosa durante el proceso $ 4 a 1 $.
El punto crucial es que cuando se incluye el regenerador, no hay transferencia neta de calor dentro o fuera del motor durante los procesos $ 2 a 3 $ y $ 4 a 1 $. La energía que sale de la sustancia de trabajo gaseosa durante el proceso $ 2 a 3 $ por transferencia de calor se almacena en el regenerador, y ese calor luego se devuelve a la sustancia de trabajo durante el proceso $ 4 a 1 $. No se transfiere calor entre el motor y su entorno durante estos tramos del ciclo.
De ello se deduce que el único calor transferido al motor en su conjunto se transfiere durante $ 1 a 2 $. Esto califica al dispositivo como un motor térmico (vea la respuesta anterior a continuación) y la eficiencia del motor se calcula como la relación de la producción neta de trabajo dividida por la entrada de calor en el proceso $ 1 a 2 $. Esto produce la eficiencia de Carnot como debería.
Mi respuesta original afirmaba que el ciclo dibujado no representa la operación de un motor térmico que opera entre dos temperaturas, pero estaba descuidando el regenerador, y creo que esto es lo que hizo implícitamente en el cálculo que realizó originalmente también, y esto dio como resultado la eficiencia incorrecta.
Respuesta original incompleta.
No hay contradicción. El ciclo de Stirling que dibujó arriba es reversible pero no opera entre dos depósitos a temperaturas fijas $ T_1 $ y $ T_2 $. Las partes isovolumétricas del ciclo operan a temperaturas que cambian continuamente (piense en la ley de los gases ideales).
Anexo antiguo. Tenga en cuenta que en termodinámica, se dice que un motor térmico opera (o trabaja) entre (dos depósitos a) temperaturas $ T_1 $ y $ T_2 $ siempre que todo el calor que absorbe o cede lo hace a una de esas dos temperaturas.
Para dar crédito a esta definición (que está esencialmente implícita en la mayoría de las discusiones sobre motores térmicos que he visto), aquí hay una cita del texto de termodinámica de Fermi:
En la sección anterior describimos un motor cíclico reversible, el motor de Carnot, que realiza una cantidad de trabajo $ L $ durante cada uno de sus ciclos al absorber una cantidad de calor $ Q_2 $ de una fuente a temperatura $ t_2 $ y entregar una cantidad de calor $ Q_1 $ a una fuente a la temperatura más baja $ t_1 $. Diremos que tal motor trabaja entre las temperaturas $ t_1 $ y $ t_2 $.
El ciclo de Stirling como lo describe no es reversible. La transferencia de calor de los depósitos térmicos a lo largo de las rutas 4-> 1 y 2-> 3 no es un proceso reversible, porque el calor se transfiere entre dos objetos a diferentes temperaturas. Para revertir el proceso, necesitaría transferir calor de forma espontánea de un depósito más frío a uno más caliente, lo que viola la segunda ley de la termodinámica.
Los motores Stirling a menudo se describen como reversibles, pero esto requiere un tipo especial de proceso. Observe que el calor transferido al motor a lo largo de 4-> 1 es el mismo que el calor transferido fuera del motor a lo largo de 2-> 3 y que 4-> 1 y 2-> 3 operan entre las mismas dos temperaturas. Por lo tanto, se puede construir un motor Stirling eficiente de Carnot si el calor se transfiere isotérmicamente dentro del motor a lo largo de estos caminos. Esto se logra con un “regenerador”, una masa térmica que almacena la energía liberada en 2-> 3 y la devuelve al gas a lo largo de la ruta 4-> 1. Puede ver que el regenerador tiene que variar continuamente de temperatura entre T2 y T1 e intercambiar calor de forma isotérmica con el gas a medida que pasa.
Tenga en cuenta que todos los motores reversibles deben funcionar con la misma eficiencia. Esto se deriva de las definiciones de eficiencia y entropía. Un motor reversible opera con cambio de entropía 0. $ Delta S = – frac {Q_h} {T_h} + frac {Q_c} {T_c} $, entonces $ Delta S = 0 $ implica $ frac {Q_h} {T_h} = frac {Q_c} { T_c} $ o eficiencia = $ frac {Q_h – Q_c} {Q_h} = frac {T_h – T_c} {T_h} $
En un ciclo de Stirling ideal, los pasos isocóricos tienen intercambio de calor a través de una diferencia de temperatura infinitesimal, que es mantenida por el regenerador que tiene un gradiente continuo de temperatura entre los depósitos fríos y calientes. Luego, el gas puede enfriarse o calentarse en alineación con ese gradiente. Esta es la parte ideal del diseño que permite un cambio cero en la entropía durante las dos etapas isocóricas. Este calor simplemente se mueve de un lado a otro internamente, por lo que el único intercambio real con el exterior es hacia adentro a través del depósito de agua caliente y hacia afuera a través del frío. De ahí la eficiencia ideal. No estoy seguro de que sea correcto llamar isotérmico a lo que sucede en las etapas del regenerador. La temperatura cambia continuamente, pero idealmente siempre a través de una diferencia infinitesimal. ¿Existe un término de uso común para eso? Sin embargo, las etapas isocóricas son muy diferentes a las etapas isotérmicas.
He notado en mis búsquedas en Internet sobre el tema de los motores Stirling que muchas fuentes confunden estas ideas. A menudo he visto análisis de eficiencia que ignoran por completo el efecto del regenerador. Esto posiblemente tenga que ver con el hecho de que los procesos isocóricos no suelen estar asociados con un cambio cero en la entropía, pero en el caso del motor Stirling hay un tipo muy especial de este proceso involucrado, que utiliza un regenerador.
El motor Stirling ideal tiene la misma eficiencia que el ciclo de Carnot, pero su ventaja es que permite la construcción de motores reales que, aunque no sean capaces de lograr etapas isotérmicas perfectas del regenerador isotermo y totalmente liso, sí se acercan y son mucho más factible que la posibilidad de construir un motor Carnot práctico.
Entonces, en realidad, los motores Stirling fabricados de verdad no alcanzan la eficiencia ideal total de Carnot, pero muchos lo hacen mucho mejor que otros tipos de motores térmicos.
En conclusión, considerando el motor Stirling ideal:
(1) Se logra la máxima eficiencia ideal del motor Carnot. (2) Su cálculo no contradice esto porque es incorrecto. Se incluye el calor intercambiado en las etapas isocóricas como parte del costo, mientras que el único costo es el aporte de calor externo durante la carrera de energía isotérmica. (3) Este ciclo es reversible ya que no hay cambios en la entropía durante las etapas isocóricas. (4) El diagrama por sí solo no es suficiente para mostrar esto, ya que también necesitamos saber que el regenerador ideal es el que habilita el tercer punto. Es decir, si quita el regenerador, el diagrama sigue siendo el mismo.