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Solución:
Tu acción es:
$$ S[x] = -m int _ lambda_0 ^ lambda_1 sqrt -g _ mu nu (x ( lambda)) , tfrac dx ^ mu d lambda tfrac dx ^ mu d lambda d lambda $$
y tienes que imponer $ delta S = 0 $ con las limitaciones $ delta x ( lambda_0) = delta x ( lambda_1) = 0 $, eso significa que las curvas consideradas en el dominio de $ S $ tener puntos finales fijos.
Computar $ delta S $ tienes que reemplazar $ x $ por $ x + epsilon delta x $ (asi que $ frac dx d lambda $ debe ser reemplazado por $ frac dx d lambda + epsilon frac d delta x d lambda $ ) y finalmente calcular la derivada con respecto a $ epsilon $ por $ epsilon = 0 $.
$$ delta S[x] = frac d d epsilon | _ epsilon = 0 S[x+ epsilon delta x]:. $$
El cálculo conduce a (asumiendo que $ g $ y las curvas son $ C ^ 1 $, estas curvas definidas en el compacto PS[lambda_0,lambda_2]PS uno puede intercambiar con seguridad el símbolo de integral con el de $ epsilon $ derivada, esencialmente por un teorema conocido de Lebesgue)
$$ delta S[x] = – frac m 2 int _ lambda_0 ^ lambda_1 frac – frac parcial g _ alpha beta parcial x ^ delta delta x ^ delta tfrac dx ^ alpha d lambda tfrac dx ^ beta d lambda – 2g _ alpha beta frac d delta x ^ alpha d lambda frac dx ^ beta d lambda sqrt -g _ mu nu (x ( lambda)) , tfrac dx ^ mu d lambda tfrac dx ^ mu d lambda d lambda :. $$
Darse cuenta de $ x $ aparece en $ g _ mu nu = g _ mu nu (x) $, también, y da lugar a la contribución $ frac parcial g _ mu nu (x) parcial x ^ sigma delta x ^ sigma $ que mencionaste en tu pregunta.
El denominador de la integral no se desvanece ya que estamos variando nuestra curva en la clase de curvas temporales que unen los dos puntos finales fijos.
Integrando por partes, se obtiene:
$$ frac 2 m delta S[x] = int _ lambda_0 ^ lambda_1 delta x ^ delta frac frac parcial g _ alpha beta parcial x ^ delta tfrac dx ^ alpha d lambda tfrac dx ^ beta d lambda sqrt -g _ mu nu (x ( lambda)) , tfrac dx ^ mu d lambda tfrac dx ^ mu d lambda d lambda – int _ lambda_0 ^ lambda_1 delta x ^ alpha frac d d lambda frac 2g _ alpha beta frac dx ^ beta d lambda sqrt -g _ mu nu (x ( lambda)) , tfrac dx ^ mu d lambda tfrac dx ^ mu d lambda d lambda + […] delta x ^ alpha ( lambda_1) -[…] delta x ^ alpha ( lambda_0) :. $$
Los dos últimos términos pueden descartarse a medida que desaparecen por hipótesis. Cambiando el nombre de algunos índices sumados terminamos con:
$$ frac 2 m delta S[x] = int _ lambda_0 ^ lambda_1 delta x ^ delta left[frac fracpartial g_alpha betapartial x^delta tfracdx^alphadlambdatfracdx^betadlambda sqrt-g_munu(x(lambda)), tfracdx^mudlambdatfracdx^mudlambda
-fracdd lambdafrac2g_deltabeta fracd x^betadlambda sqrt-g_munu(x(lambda)), tfracdx^mudlambdatfracdx^mudlambda right]d lambda :. $$
Dado que el LHS desaparece para cada elección de la variación $ delta x ^ delta ( lambda) $, concluimos que $ delta S[x]= 0 $ en una curva $ x = x ( lambda) $ es equivalente al requisito de que dicha curva verifique:
$$ frac frac parcial g _ alpha beta parcial x ^ delta tfrac dx ^ alpha d lambda tfrac dx ^ beta d lambda sqrt -g _ mu nu (x ( lambda)) , tfrac dx ^ mu d lambda tfrac dx ^ mu d lambda – frac d d lambda frac 2g _ delta beta frac dx ^ beta d lambda sqrt – g _ mu nu (x ( lambda)) , tfrac dx ^ mu d lambda tfrac dx ^ mu d lambda = 0 :. quad (1) $$
Podemos cambiar el parámetro y usar el tiempo adecuado. $ d tau $ así que eso:
$$ d lambda sqrt -g _ mu nu (x ( lambda)) , tfrac dx ^ mu d lambda tfrac dx ^ mu d lambda = d tau $$ y (1) se convierte en:
$$ frac 1 2 frac parcial g _ alpha beta parcial x ^ delta frac dx ^ alpha d tau frac dx ^ beta d tau – frac d d tau g _ delta beta frac dx ^ beta d tau = 0 :. quad ( 2) :. $$
Expandiendo la última derivada cambiando el nombre de $ beta $ para $ mu $ en el último trimestre:
$$ frac 1 2 frac parcial g _ alpha beta parcial x ^ delta frac dx ^ alpha d tau frac dx ^ beta d tau – frac parcial g _ delta beta parcial x ^ sigma frac dx ^ sigma d tau frac dx ^ beta d tau -g _ delta mu frac d ^ 2 x ^ mu d tau ^ 2 = 0 :. quad :. $$
En otras palabras:
$$ frac d ^ 2 x ^ mu d tau ^ 2 – g ^ delta mu frac 1 2 frac parcial g _ alpha beta parcial x ^ delta frac dx ^ alpha d tau frac dx ^ beta d tau + g ^ delta mu frac gamma parcial _ delta beta x parcial ^ sigma frac dx ^ sigma d tau frac dx ^ beta d tau = 0 :. $ PS
Cambiar el nombre de algunos índices:
$$ frac d ^ 2 x ^ mu d tau ^ 2 + frac 1 2 g ^ mu delta left (2 frac parcial g _ delta beta parcial x ^ sigma – frac parcial g _ sigma beta parcial x ^ delta derecha) frac dx ^ sigma d tau frac dx ^ beta d tau = 0 :. $$
Eventualmente, explotando $ g _ delta beta = g _ beta delta $:
$$ frac d ^ 2 x ^ mu d tau ^ 2 + frac 1 2 g ^ mu delta left ( frac parcial g _ delta beta parcial x ^ sigma + frac parcial g _ beta delta parcial x ^ sigma – frac parcial g _ sigma beta parcial x ^ delta right) frac dx ^ sigma d tau frac dx ^ beta d tau = 0 :. $$
Ahora note que:
$$ frac parcial g _ delta beta parcial x ^ sigma frac dx ^ sigma d tau frac dx ^ beta d tau = frac parcial g _ delta sigma parcial x ^ beta frac dx ^ beta d tau frac dx ^ sigma d tau = frac parcial g _ delta sigma parcial x ^ beta frac dx ^ sigma d tau frac dx ^ beta d tau $$
por lo que la identidad encontrada se puede reescribir como:
$$ frac d ^ 2 x ^ mu d tau ^ 2 + frac 1 2 g ^ mu delta left ( frac parcial g _ delta sigma parcial x ^ beta + frac parcial g _ beta delta parcial x ^ sigma – frac parcial g _ sigma beta parcial x ^ delta right) frac dx ^ sigma d tau frac dx ^ beta d tau = 0 :. $$
Hemos encontrado:
$$ frac d ^ 2 x ^ mu d tau ^ 2 + Gamma ^ mu _ sigma_ beta frac dx ^ sigma d tau frac dx ^ beta d tau = 0 :, $$
como se desee.
Aquí hay dos definiciones de geodésicas.
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distancia local minimizando las curvas Usted minimiza la acción, como lo hizo, begin ecuación S ( gamma) = int_a ^ b sqrt g _ mu nu dot x ^ mu dot x ^ nu dt = int_a ^ b L dt end ecuación La ecuación de Euler Lagrangiana asociada con esta acción es begin ecuación frac d dt ( frac parcial L parcial punto x ^ mu) – frac parcial L parcial x ^ mu = 0 end ecuación
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curvas en las que el vector tangente se transporta en paralelo. Minimizas la acción, begin ecuación E ( gamma) = int_a ^ b frac 1 2 g _ mu nu dot x ^ mu dot x ^ nu dt = int_a ^ b frac 1 2 L ^ 2 dt end ecuación a través de la ecuación de Euler Lagrangiana begin ecuación frac d dt ( frac L parcial punto parcial x ^ mu) – frac L parcial parcial x ^ mu = – frac 1 L frac L parcial parcial dot x ^ mu frac d dt L end ecuación y obtén la solución (después de un poco de álgebra) begin ecuación ddot x ^ lambda + Gamma ^ lambda _ mu nu dot x ^ mu dot x ^ nu = 0 end ecuación Esta curva transporta en paralelo el vector tangente.
Notamos begin eqnarray frac d dt ( frac parcial L parcial dot x ^ mu) – frac parcial L parcial x ^ mu = 0 \ frac d dt L = 0 end eqnarray resuelve ecuaciones de Euler-Lagrangiano en ambos casos. $ frac d dt L $ simplemente corrige la parametrización. Para una variedad de Riemann, el parámetro difiere la longitud de la curva por una transformación afín begin ecuación S ( gamma_ sol (t)) = int_a ^ t L ( gamma_ sol ( tau) d tau = (ta) L ( gamma_ sol (t = 0)) end ecuación es por eso que algunos libros de texto tienen directamente la longitud (o el tiempo adecuado) como parámetro en primer lugar.
La segunda definición a veces se llama geodésicas afines. Mientras que en GR, en la mayoría de los casos estamos hablando de geodésicas afines, que es una curva de minimización local más una parametrización afín.