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Solución:
Prueba de Polar CR Sea $f=u+iv$ analítico, entonces se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann habituales beginecuación fracpartial uparcial x =fracparcial vparcial y texty fracu parcialy parcial =-fracv parcialx parcial (CRE) endecuación Como $z=x+iy=r(costheta + i sintheta)$, entonces $x(r, theta)=rcostheta$ y $y(r, theta)=rsentheta$. Por la regla de la cadena: beginalign* fracparcial uparcial r & = fracparcial uparcial x costheta+ fracparcial u y parcial sintheta \ & overset(CRE)= frac1r left( fracv parcialy parcial rcostheta – fracv parcialx parcial rsinthetaright) =frac1r left( fracv parcial\theta parcialright) end align* y nuevamente, por la regla de la cadena: beginalign* fracparcial vparcial r & = fracparcial vparcial x costheta+ frac v parcialy parcial sintheta \ & overset(CRE)= frac-1r left( fracu parcialy parcial rcostheta – fracparcial uparcial x rsinthetaright) =frac-1r left( fracparcial uparcial thetaright) endalign* Así que $$ left( fracpartial upartial rright) = frac1r left( fracpartial vparcial thetaright) texty left(fracparcial vparcial r right) = frac-1 r left( fracu parcial\theta parcialright) cuadrado negro $$
Ejemplo de logaritmo $log(z)=ln(r)+i theta$ con $z=re^itheta$, $r>0$ y $-pi Una forma de derivar ecuaciones CR en forma polar es encontrar $u_r$, $u_theta$, $v_r$, $v_theta$ en términos de $u_x$, $u_y$, $v_x$, $v_y$ y $sintheta$, $costheta$, $r$. Luego inserte esta información en la forma polar de las ecuaciones y verifique que $LHS = RHS$ (usando la forma cartesiana de las ecuaciones). Otra forma es encontrar $u_x$, $u_y$, $v_x$, $v_y$ en términos de $u_r$, $u_theta$, $v_r$, $v_theta$ y $sin theta$, $costheta$, $r$. Luego inserte esta información en la forma cartesiana de las ecuaciones y obtenga la forma polar a través de manipulaciones algebraicas. Esto va de la siguiente manera: Sea $f(z) = U(x,y) + iV(x,y) = u(r,theta) + iv(r,theta)$. (Igualando real e imaginario, tenemos $U(x,y) = u(r,theta)$ y $V(x,y) = v(r,theta)$. Además, $r = sqrt x^2 + y^2$ y $theta = arctanfracyx$). $f$ es analítico en $z$ si y si $U_x = V_y$ y $U_y = -V_x$. Usando la regla de la cadena, begineqnarray U_x &=& u_r cdot r_x + u_theta cdot theta_x % &=& u_r costheta – u_theta fracsintheta r tag1 \ U_y &=& u_r cdot r_y + u_theta cdot theta_y % &=& u_r sintheta + u_theta fraccos thetar tag2 \ V_x &=& v_r cdot r_x + v_theta cdot theta_x % &=& v_r costheta – v_theta fracsinthetar tag3 \ V_y &=& v_r cdot r_y + v_theta cdot theta_y % &=& v_r sintheta + v_theta fraccosthetar tag4 endeqnarray Ahora $U_x = V_y$ da begineqnarray u_r costheta – u_theta fracsinthetar &=& % v_r sintheta + v_theta frac costhetar labela tag5 endeqnarray Y $U_y = -V_x$ da begineqnarray u_r sintheta + u_theta fraccosthetar &=& % – v_r costheta + v_theta fracsinthetar labelb tag6 endeqnarray Así, $costheta cdot (refa) + sintheta cdot (refb)$ da $u_r = frac1r v_ theta$, y $sintheta cdot (refa) – costheta cdot (refb)$ da $- frac1r u_ theta = v_r$. Si te gusta la informática, tienes la opción de dejar un ensayo acerca de qué te ha impresionado de este ensayo.Comentarios y puntuaciones