Hemos estado buscando en todo el mundo on line y así brindarte la solución a tu dilema, si continúas con dificultades puedes dejarnos tu inquietud y te responderemos sin falta, porque estamos para ayudarte.
Solución:
La fuerza del oscilador armónico se escribe como
$$ F_ho = – D cdot (x – x_0) $$
dónde $D$ es el llamado constante de resorte y $x_0$ es el lugar de referencia, donde la masa no experimenta ninguna fuerza. Ahora, agreguemos una fuerza constante, como la gravedad. La fuerza total que actúa sobre la masa. $m$ lee
$$ F_total = F_g + F_ho = -mg – D cdot (x – x_0) = – D cdot (x – tilde x_0) $$
donde usamos $tilde x_0 := x_0 – fracmgD$. Por lo tanto, al agregar un término constante, simplemente cambiamos la posición de referencia.
Bien, entonces, míralo así. En la ecuación que describiste, que se muestra a continuación, $x_0$ es una constante, siendo el punto de reposo del resorte bajo gravedad cero.
$$ mcdot a_y = – mg + D cdot (x_0 – x_1) $$
También sabemos que $D$, $m$y $g$ son valores constantes similares en circunstancias normales, lo que significa que podemos reescribir su función original de la siguiente manera:
$$ mcdot a_y = D cdot (x_0′ – x_1) $$
con $x_0’$ el nuevo punto de reposo bajo aceleración constante (en este caso, la gravedad):
$$x_0’= x_0 – fracm cdot gD$$
Tenga en cuenta que este resultado se cumple de manera más general, siempre que la aceleración sea constante en tiempo y posición. Para la gravedad, solo se mantiene porque en la superficie de la tierra, la diferencia de posición entre un resorte extendido y un resorte no extendido es insignificante en comparación con la distancia al centro de masa de la tierra.
Como usted preguntó, aquí hay un argumento matemático de por qué se puede ignorar la fuerza gravitacional. En general, su ecuación se vería así:
beginalign* x” + omega^2 x &= C \ endalign*
con $omega^2=frackm$.
Las soluciones se pueden escribir como una solución de la ecuación asociada homogénea (RHS = 0) más una solución particular. La solución homogénea es, como sabes, $x_h(t) = A e^iomega t$, $AenmathbbC$. Ahora tienes que conseguir una solución particular, con el método que más te guste. En este caso, una solución trivial es $x_p(t) = C fracmk$ que es constante. Entonces, la solución final (tomando la parte real) es:
beginalign* x(t) &= x_h(t) + x_p(t) \ x(t) &= A cos(omega t+phi) + C fracmk endalinear*
No sé qué sería en tu caso, porque no entiendo qué $(x_0 – x_1)$ es.
Editar: ahora entiendo que te referías a un sistema de masa de resorte que cuelga veticamente. En ese caso, tendrías:
$$x”=-fracD(x-x_0)+mgm$$
dónde $x_0$ sería la posición de equilibrio sin gravedad. Después,
beginalign* x” &= -fracDm x + fracD x_0 – mgm endalign*
Definición
begincasos k &= D \ C &= fracD x_0 – mgm \ endcasos
usted obtiene
$$Rightarrow x(t)= A cosleft(sqrtfracDmt+phiright)+x_0-fracmgD text.$ ps
Acuérdate de que tienes la capacidad de reseñar tu experiencia .