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Solución:
La distancia del punto $z$ a la recta $b + ct,; t in mathbbR$ es la longitud de la proyección de $zb$ a la normal, que tiene dirección $pm ic$. Si identificamos $mathbbC$ con $mathbbR^2$, encontraríamos la longitud de la proyección calculando el producto interno. Hacemos lo mismo en $mathbbC$ incluso si no lo identificamos explícitamente con $mathbbR^2$, el producto interno real de $v$ y $w$, expresado en forma compleja, es $Re overlinevw$.
Entonces obtenemos
$$leftlvertRe left(fracoverlineic(zb)lvert crvertright)rightrvert = leftlvertIm fracoverline c(zb)lvert crvert rightrvert$$
como la expresión de la distancia de $z$ desde la línea $b + ct$. Si se elige $c$ con valor absoluto $1$, eso se simplifica a $lvert Im overlinec(zb)rvert$.
Con base en las ecuaciones de la geometría analítica, se pueden redefinir las ecuaciones de un gráfico en términos de variables complejas que tratan el plano complejo como un espacio bidimensional. Considere que las ecuaciones de la parábola en geometría analítica están en las siguientes formas a continuación,
Forma de ecuación 1: $$ (yb)^2= 4 ax $$
Forma de ecuación 2:$$ (xb)^2= 4 ay $$
Sea z una variable compleja en un plano complejo $omega$, se denota por la siguiente ecuación $$ z = x + iy $$ donde x e y son partes real e imaginaria de una variable compleja que corresponde a Abscisa y Ordenada en geometría analítica y su conjugado $$overlinez= x – iy$$
C sea un número complejo constante denotado por $$ C= a+ib $$ y su conjugado $$overlineC=a- ib$$ Representación compleja de Parábola de forma de ecuación 1: $$ mid z -C mid =frac mid z + overlinezmid2 + fracmid C + overlineCmid2 $$ Parábola de la forma de ecuación 2:$$ mid z -Cmid = fracmid z – overlinezmid2 + fracmid C – overlineCmid2 $$
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