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Solución:
Algunas diferencias son que “hablando con propiedad”, “en (1 + 1) dimensiones, no existe el espín”, lo que explicaría el “Esperaba poder asignar significado al “espín” del campo ψ ” cita en su documento, y proviene del hecho de que “El pequeño grupo $G(0)$ puede tomarse como la definición del espín de una partícula” (P.307), pero a pesar de esto “hay espinores de Majorana o Weyl en dos dimensiones para cualquier elección de firma. Además, en el espacio-tiempo bidimensional de Minkowki hay fermiones de Majorana-Weyl”, como se puede ver en la tabla (De Polchinski Vol. 2 Apéndice A) a continuación, donde el tamaño de las matrices gamma de Dirac depende de la dimensión del espacio y la posibilidad de reducir la representación de Dirac a las representaciones de Weyl o Majorana depende de las dimensiones, donde, por ejemplo, en 4D solo podemos tener Weyl o Majorana pero no los dos, mientras que en el 1-1 podemos tener los dos. Estas son algunas diferencias básicas. Nota la $SO(2,1)$ El caso dimensional también tiene propiedades extrañas que permiten “anyones”, análogos de bosones y fermiones.
Con respecto al comentario de “sucursales” en P7 de sus notas, al igual que el grupo de Lorentz $SO(3,1)$ está desconectado, el grupo $SO(1,1)$ también está desconectado, como cualquier $ SO (p, q) $ grupo cuando ambos $pq > 1$. El autor está comparando este grupo desconectado con el grupo conectado. $SO(3)$ al tratar de entender lo que está pasando, por lo que se refiere a $SO(1,1)$ estar desconectado como “inusualmente disjunto” en comparación con $SO(3)$ sin embargo, esto es muy natural ya que el grupo de Lorentz $SO(3,1)$ también está desconectado.
Sobre la noción de “existe el giro en dimensiones 1 + 1”, creo que esto depende de cómo se defina. Las matrices gamma se pueden dividir en tiempo más las matrices de espín de Pauli; lo que está haciendo al pasar de 3 dimensiones en las matrices de espín de Pauli a solo 1 dimensión es que se está restringiendo a $sigma_z$ y dejando al otro $sigma$ Matrices apagadas. Entonces, el espín todavía existe como vectores propios para $sigma_z$.
Lo que significa “las dos ramas del espinor son disjuntas”: una diferencia entre los vectores (que siguen la representación fundamental de SO(3)) y los espinores (que siguen la representación fundamental de SU(2)) es que los espinores tienen “doble valor “. Girar un espinor por $2pi$ cambia su signo, es decir, lo multiplica por -1, no ocurre tal cambio en un vector.
Ahora la frase “girar un espinor por $2pi$” necesita ser definido con más cuidado. Para obtener la fase compleja $-1 = exp(2ipi;;(2pi/4pi))$ necesitas para la rotación para tallar $2pi$ ster-radianes de la esfera de Bloch cuya superficie total es $4pi$. Puede hacer esto rotando a lo largo de un gran arco circular de +z a +x a -z a -x y luego a +z. Pero esto requiere el uso de la dimensión x, por lo que es imposible en 1+1 dimensiones. Por lo tanto, la cubierta doble está disjunta en dimensiones 1+1, mientras que puede usar rotaciones para mostrar que no está en 2+1 o 3+1 o 4+1 o más grande.
Como excusa para hacer cálculos, puede hacer la rotación multiplicando bras y kets para girar en varias direcciones. El signo menos de rotar un espinor a través de la ruta del gran círculo yendo de +z a +x y de vuelta a +z nuevamente está dado por un producto de operadores de proyección (matrices de densidad pura) que darán un signo menos multiplicado por el operador de proyección para el giro en la dirección +z. Es decir:
$|+zranglelangle+z||-xranglelangle-x||-zranglelangle-z||+xranglelangle+x||+zranglelangle+z | = -|+zranglelangle+z|/4$
donde el signo – proviene de la fase geométrica $exp(2ipi;(2pi/4pi)) = exp(ipi) = -1$ y el 1/4 proviene de las cuatro pérdidas de cada $sqrt1/2$ en amplitud en cada cambio de espín.
Ahora cambie de espinores a vectores (digamos la repetición fundamental de SO(3) o la repetición de espín-1 de SU(2) y haga el mismo cálculo que arriba, el signo menos desaparece ya que las representaciones no son cubiertas dobles.
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