Solución:
Cometió un error al asumir que la aceleración angular ($ alpha $) es igual a $ v ^ 2 / r $, que en realidad es la aceleración centrípeta. En palabras simples, la aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular, que además es la tasa de cambio del ángulo $ theta $. Esto es muy similar a cómo se define la aceleración lineal.
$$ a = frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} rightarrow alpha = frac {d ^ 2 theta} {dt ^ 2} $$
Como la aceleración lineal es $ F / m $, la aceleración angular es de hecho $ tau / I $, siendo $ tau $ el par y I el momento de inercia (equivalente a la masa).
También estoy confundido sobre qué representa exactamente ‘V’ (velocidad tangencial) y cómo se usa. ¿Es un vector cuya magnitud es igual al número de radianes que debe rotar cualquier punto de un polígono?
La velocidad tangencial en el caso de un cuerpo que se mueve con rapidez constante en un círculo es la misma que su rapidez ordinaria. El nombre proviene del hecho de que esta velocidad es a lo largo de la tangente al círculo (la trayectoria del movimiento del cuerpo). Su magnitud es igual a la velocidad a la que se mueve a lo largo del círculo. Geométricamente, puede mostrar que $ v = r omega $.
$ a_c = frac {v ^ 2} {r} $ no es una aceleración angular. Es la magnitud de la aceleración lineal hacia el centro de un objeto que sigue una trayectoria circular a velocidad angular constante. La aceleración angular es la derivada de la velocidad angular, y el análogo de la segunda ley de Newton es que la aceleración angular es igual al par dividido por el momento de inercia.
Empiece siempre por las unidades. Le dirán mucho sobre las ecuaciones y le permitirán corregir errores de coherencia. Por cierto, esta es la razón por la que prefiero la notación de Leibniz sobre la de Newton para las derivadas, las unidades se determinan inmediatamente examinando la derivada, por ejemplo, $ dx / dt $ tiene unidades de distancia en el tiempo asumiendo la definición habitual de $ x $ y $ t $.
En este caso, el ángulo, $ theta $, es el equivalente a la distancia recorrida en cinemática lineal y tiene unidades de radianes ($ {rad} $). (Los radianes, al ser menos unidades, son hasta cierto punto un marcador de posición, pero los marcadores de posición pueden ser muy útiles, así que téngalos en cuenta). Entonces, la tasa de cambio de ángulo con respecto al tiempo, $ omega $, tiene las unidades de $ {rad} / s $. La aceleración angular, $ alpha $, tendrá unidades de $ {rad} / s ^ 2 $.
Teniendo esto en cuenta, puede decir inmediatamente que $ a_c = frac {v ^ 2} {r} $ no es una aceleración angular, sino una aceleración lineal, como la describe Peter. De manera similar, la aceleración angular no está directamente relacionada con la fuerza, sino con el torque, $ tau = I alpha $, donde $ I $ es el momento de inercia. (Desde una perspectiva matemática, el momento de inercia es el segundo momento de la distribución de masa donde el centro de masa es el primer momento). El torque tiene las unidades $ {kg} m ^ 2 / s ^ 2 $, donde los radianes se dejaron caer. Tenga en cuenta que tiene unidades de energía, o $ (Fuerza) (distancia) $, y $ tau = r times F $.
En cualquier curva de un solo parámetro en $ mathbb {R} ^ n $, $ n geq2 $, la derivada con respecto a ese parámetro siempre se encuentra tangente a la curva. La derivada nos muestra literalmente cómo va a cambiar la posición. Desde una perspectiva física, puede pensar en esto como unir los vectores de velocidad y aceleración al objeto en movimiento, en sí mismo, como si se dibujara un diagrama de cuerpo libre.
Para ser concreto, para un movimiento circular uniforme, la posición es
$$ r
donde $ R $ es el radio del círculo, $ hat {i} $ y $ hat {j} $ son los vectores unitarios en las direcciones $ x $ y $ y $, respectivamente, y la velocidad es
$$ v
Tenga en cuenta que la velocidad es perpendicular a la posición, que es una propiedad del movimiento circular. A partir de esto, debería poder demostrar matemáticamente que la aceleración es perpendicular a la velocidad y antiparalela a la posición. Los dejo con el problema de entender por qué esto también tiene sentido físicamente.