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Solución:
Intuitivamente, $delta(x_m-x)$ es distinto de cero solo cuando $x_m=x$. Del mismo modo, $delta(x_m’-x)$ es distinto de cero solo cuando $x_m’=x$. Entonces el factor $delta(x_m-x) , delta(x_m’-x)$ es distinto de cero solo cuando $x_m=x=x_m’.$ Después de la integración con $x$ todavía debemos tener $x_m= x_m’$ lo que hace que el resultado $delta(x_m-x_m’)$ sea bastante natural.
Más formalmente, recuerda la fórmula $int_-infty^infty f(x) , delta(x_0-x) , dx = f(x_0)$. Aplica esto a la integral dada con $x_0=x_m’$ y $f(x) = delta(x_m-x).$ Entonces el resultado $delta(x_m-x_m’)$ cae.
$delta(x)$ nunca está realmente bien definido por sí mismo (al menos no como una función). Solo se define cuando aparece en una integral (posiblemente, multiplicada con otra función). Es esencialmente azúcar sintáctico, y la “definición” es $$ int_mathbbRmathrmdx f(x)cdot delta(x-x_0) := f(x_0) $$
Entonces, lo que realmente significa la identidad en cuestión es $$ int_mathbbRmathrmdy: f(y)cdot int_mathbbRmathrmdx: delta (yx) cdot delta(x_m’-x) = f(x_m’) $$ para cualquier función $f$.
¿Por qué sería eso? Bueno, básicamente es cuestión de cambiar el orden de integración: $$beginalign int_mathbbRmathrmdy: f(y)cdot int_mathbbR mathrmdx: delta(yx) cdot delta(x_m’-x) =& int_mathbbRmathrmdy int_mathbbRmathrmdx : f(y)cdot delta(yx) cdot delta(x_m’-x) \ =& int_mathbbRmathrmdx int_mathbbRmathrm dy: f(y)cdot delta(yx) cdot delta(x_m’-x) \ =& int_mathbbRmathrmdx: delta(x_m’ -x) int_mathbbRmathrmdy: f(y)cdot delta(yx) \ =& int_mathbbRmathrmdx: delta (x_m’-x) int_mathbbRmathrmdy: f(y)cdot delta(yx) \ =& int_mathbbRmathrmdx : delta(x_m’-x) f(x) \ =& int_mathbbRmathrmdx: delta(x-x_m’) f(x) \ =& f( x_m’) endalinear$$
Lo anterior no sería controvertido si $delta$ fuera solo una función suave y extraña con soporte compacto. De hecho, no lo es, pero puede aproximarlo con tales funciones, por lo que al menos para $f$ continuo no es problemático.
La delta de Dirac es una distribución, lo que significa que actúa sobre funciones suaves. El delta de Dirac en sí mismo no es una función suave, lo que significa que no puede actuar sobre sí mismo. La expresión $$ int_mathbb Rdelta(x-x_1)delta(x-x_2)mathrm dx=delta(x_1-x_2)tag1 $$ no tiene sentido desde un punto de vista riguroso. mientras es true que tiene sentido intuitivo, hacerlo riguroso requiere un poco de cuidado.
Para ello, consideraremos la delta de Dirac como el límite (en el sentido de medidas) de un ablandador: $$ delta_epsilon(x):=epsilon^-1eta(x/epsilon) tag2 $$ donde $eta$ es una función absolutamente integrable con integral unitaria.
Con esto, $$ lim_epsilonto0^+int_mathbb Rf(xy)delta_epsilon(x)mathrm dxequiv f(y)tag3 $$ por suficiente $ f$. Tenga en cuenta que esto es solo una convolución: $fstardelta_epsilonto f$ as $epsilonto0^+$. Esta es una afirmación perfectamente rigurosa.
Pero tenga en cuenta que $delta_epsilon$ es en sí misma una función suave, lo que significa que podemos aplicar esta identidad a $f=delta_epsilon’$: $$ lim_epsilonto0^+int_ mathbb Rdelta_epsilon'(xy)delta_epsilon(x)mathrm dxequiv delta_epsilon'(y)tag4 $$
Finalmente, el límite formal $epsilon’to0^+$ arroja la identidad en el OP (después de la redefinición $y=x_2-x_1$ y el cambio de variables $xto x-x_1$). No hace falta decir que este último límite solo tiene sentido en el sentido de las medidas, lo que significa que debe considerarlo como una declaración de que ambos lados son iguales cuando se integran en funciones suficientemente buenas.
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