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Solución:
La primera definición tiene la gran virtud de coincidir exactamente con la notación: define $limsup_na_n$ como el límite (como $ntoinfty$) de la supremo (de las colas de la secuencia). Dado que el comportamiento de una secuencia está determinado por sus colas, esto es algo muy natural a considerar. En términos generales, es lo que “debería” ser el supremo de la secuencia si pudiéramos ignorar las fluctuaciones más o menos sin sentido en cada segmento inicial finito. No podemos hacer eso literalmente, porque puede haber tales fluctuaciones arbitrariamente lejos en la secuencia, pero podemos hacerlo en el límite. Sea $u=limsup_na_n$; cualquier cola dada de la secuencia puede tener un supremo mayor que $u$, pero si lo tiene, una cola posterior tendrá un supremo más pequeño, habiendo exprimido más de la fluctuación ‘temprana’ sin sentido. Tenga en cuenta que debido a que la suprema de las colas forma una secuencia no creciente,
$$limsup_na_n=lim_ntoinftysup_kge na_k=inf_ninBbb Nsup_kge na_k;.tag1 $$
Esta definición también se generaliza con relativa facilidad a secuencias en celosías completas arbitrarias, que tienen nociones de supremo e ínfimo de conjuntos arbitrarios de elementos. En particular, si $X$ es un conjunto, $wp(X)$ es un retículo completo con $bigcup$ como supremo y $bigcap$ como mínimo. Sea $langle A_n:ninBbb Nrangle$ una secuencia de subconjuntos de $X$. Un primer intento de generalizar la primera definición podría ser
$$limsup_nA_n=lim_ntoinftybigcup_kge nA_k;,$$
pero no tenemos (todavía) una noción del límite de una secuencia de conjuntos. La última expresión en $(2)$, sin embargo, funciona muy bien: podemos definir significativamente
$$limsup_nA_n=inf_ninBbb Nbigcup_kge nA_k=bigcap_ninBbb Nbigcup_kge nA_k;.$$
Mejor aún, podemos ver que tiene el mismo efecto general de deshacerse de las fluctuaciones iniciales esencialmente sin sentido: la unión de cualquier cola dada puede ser más grande que $limsup_nA_n$, pero si lo es, una cola posterior tendrá una unión más pequeña , habiendo exprimido más de los puntos que se encuentran en solo un número finito de $A_n$.
La segunda definición expresa una propiedad muy importante del límite superior de una sucesión de números reales, pero creo que la primera da más fácil acceso a las diversas nociones más generales de límite superior.
Creo que una definición más adecuada de $limsup$ es
$$ limsup_ntoinfty a_n = inf_n ge 1 supa_n, a_n+1, ldots $$
porque necesita $limsup$ y $liminf$ para definir $lim$.
La forma en que pienso en $limsup$ es el límite del “sobre superior” de la secuencia. Como cuando tienes $a_n = left(1 + frac 1nright)sin n$, $limsup_n to infty a_n = 1$ y $liminf_n to infty a_n = -1$, pero el límite no existe.
Vagamente pensé que Rudin dijo explícitamente que el límite de una secuencia es el supremo de sus puntos límite. Podría estar equivocado.
En cuanto a la primera definición, debe pensar en $u_n$ como “el elemento más grande de este lado del río”. Si sigues moviendo el río, solo te queda el elemento más grande. Por supuesto, esto es muy impreciso, pero me ayuda.