Encontramos el arreglo a esta impedimento, o por lo menos eso creemos. Si presentas dudas coméntalo, que sin dudarlo te ayudaremos
Vamos a denotar por $ S_ k, n $ el conjunto de posibles enteros $ m $, tal que $ mathbb R ^ k $ puede dividirse en $ m $ regiones por $ n $ hiperplanos. Si denotamos por $ S ^ P _ k, n $ el conjunto definido de manera similar pero para el espacio proyectivo $ mathbb RP ^ k $. Tenemos eso $ S_ k, n = S ^ P_ k, n + 1 $ ya que cada arreglo afín se puede elevar a un arreglo proyectivo con el mismo número de regiones agregando el hiperplano en el infinito. De manera similar, cualquier arreglo proyectivo da lugar a arreglos afines con el mismo número de regiones al eliminar uno de los hiperplanos. El siguiente resultado resuelve el problema de $ k = 2 $:
Teorema: (N. Manturov, “Clasificación de arreglos por el número de sus celdas”) Tenemos $ m en S ^ P_ 2, n $ si y solo si existe algún entero $ 0 le r le n-2 $ tal que
$$ (nr) (r + 1) + binom r 2 – min bigg nr, binom r 2 bigg le m le (nr) (r +1) + binom r 2. $$
La prueba en ese documento involucra bastante trabajo de casos y parece que no se generalizaría fácilmente a dimensiones más altas, sin embargo, encuentro un aspecto en particular muy interesante. La forma en que se muestra que todos los números que satisfacen estas desigualdades funcionan es exhibiendo una familia de arreglos muy simple $ mathbb B ^ c_ a, b $ que se obtienen como la unión de un lápiz de $ a $ líneas (todas pasando por el mismo punto), una disposición simple de $ b $ líneas (sin tres líneas concurrentes), de modo que $ c $ de los puntos de intersección de la disposición simple se encuentran en el primer lápiz. Esto nos lleva a una conjetura (¿posiblemente demasiado optimista?):
Conjetura: Si un arreglo de $ n $-hiperplanos en $ mathbb RP ^ k $ posee $ m $ regiones, entonces existe un arreglo de $ n $-hiperplanos, obtenidos como la unión de $ n $ lápices generalizados (uno para cada tipo), que también tiene $ m $ regiones.
Por lápiz generalizado, me refiero a tomar dos planos de dimensión planos proyectivos inconexos $ r_1, r_2 $ en un $ (r_1 + r_2 + 1) $-espacio proyectivo dimensional, eligiendo una disposición genérica de hiperplanos en el primer espacio, y tomando la envergadura de cada hiperplano con el segundo espacio proyectivo. Decimos que el lápiz tiene tipo $ (r_1, r_2) $. Si esta conjetura fuera a ser true, habría alguna esperanza de una estrategia de prueba en la línea de comenzar con un arreglo arbitrario y de alguna manera deformarlo en tal forma mientras se preserva el número de regiones.
La motivación de la pregunta fue la observación de que el menor número de líneas en el plano que dan cinco regiones es $ n = 4 $ lineas paralelas. Sorprendentemente, siempre que $ m gt 5 $ y $ m leq binom n 2 + n + 1 $, el número máximo de regiones posibles utilizando $ n $ líneas, hay una división del plano en $ m $ regiones que utilizan no más de $ n $ líneas.
Sospeché esto basándome en esta fácil observación (y algunos cálculos):
Si el avión se divide por $ t $ clases paralelas de líneas con tamaños $ a_1, cdots, a_t $, no hay tres líneas concurrentes, entonces el plano se divide en $ frac n ^ 2-s 2 + n + 1 $ regiones donde $ n = sum a_i $ y $ s = sum a_i ^ 2. $
La bonita construcción de Manturuv captura un pequeño número de regiones que esto no hace, pero las obtenidas son suficientes para establecer el resultado reivindicado anteriormente hasta $ n = 50 $ excepto por $ m = 5 $ y $ m = 17. $ Ejecutando ingenuamente todas las particiones de $ n $ se vuelve lento.
Así que para $ k = 2 $ entonces el conjunto de número alcanzable de regiones es la unión de intervalos. Una vez $ nr leq binom r 2 $ tenemos un intervalo que comienza en $$ (nr) (r + 1) + binom r 2 – (nr) = nr- binom r + 1 2 $$ con el intervalo anterior terminando en $$ (n-r + 1) r + binom r-1 2 = nr- binom r + 1 2 + 1. $$ Dado que esto sucede cerca $ r = sqrt 2n, $ ciertamente podemos alcanzar cualquier número de regiones $ n sqrt 2n leq m leq n frac n + 1 2 + 1 $ usando exactamente $ n $ líneas.