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Solución:
La expresión de la distancia entre dos vectores en coordenadas esféricas proporcionada en la otra respuesta generalmente se expresa en una forma más compacta que no solo es más fácil de recordar sino que también es ideal para capitalizar ciertas simetrías al resolver problemas.
$$beginalign |mathbfr-mathbfr^prime| &=sqrt(x-x’)^2+(y-y’)^2+(z-z’)^2\ &=sqrtr^2+r’^2-2rr’ izquierda[colorredsin(theta)sin(theta’)colorbluecos(phi)cos(phi’)+colorredsin(theta)sin(theta’)colorbluesin(phi)sin(phi’)+cos(theta)cos(theta’)right]\ &=raíz cuadradar^2+r’^2-2rr’izquierda[colorredsin(theta)sin(theta’)colorblueleft(cos(phi)cos(phi’)+sin(phi)sin(phi’)right)+cos(theta)cos(theta’)right]\ &=raíz cuadradar^2+r’^2-2rr’izquierda[colorredsin(theta)sin(theta’)colorbluecos(phi-phi’)+cos(theta)cos(theta’)right].\ endalinear$$
Esta forma hace bastante transparente cómo la simetría azimutal le permite eliminar automáticamente algunas de las dependencias angulares en ciertos problemas de integración. Otra ventaja de este formulario es que ahora tiene al menos dos variables, a saber $fi$ y $phi’$que aparecen en la ecuación solo una vez, lo que puede hacer que encontrar expansiones en serie con estas variables sea un poco menos doloroso que las otras.
Simplemente tienes que escribirlo en coordenadas cartesianas y cambiar las variables: $x=rsin(theta)cos(phi)$, $y=rsin(theta)sin(phi)$, $ z=rcos(theta)$ $$sqrt(x-x’)^2+(y-y’)^2+(z-z’)^2=$$$$=sqrt r^2+r’^2-2rr’izquierda[sin(theta)sin(theta’)cos(phi)cos(phi’)+sin(theta)sin(theta’)sin(phi)sin(phi’)+cos(theta)cos(theta’)right]$$ Pero no veo una manera de mejorar realmente este lío.
Sobre la base de la respuesta de @[David H], escribí la distancia de una manera que resalte la diferencia de ángulos: $$ ||vec r_1 – vec r_2|| = sqrt r_1^2 + r_2^2 – 2, r_1 r_2 cos(theta_1 – theta_2) – 2, r_1 r_2 sin theta_1 sin theta_2 left( cos( phi_1 – phi_2) – 1 right) $$ Resalta las contribuciones de la diferencia en el ángulo polar $theta$ y la diferencia en el ángulo azimutal $phi$, (términos tercero y cuarto, respectivamente, bajo el símbolo de la raíz cuadrada). Tenga en cuenta la escala intuitiva de la contribución azimutal por $sin theta_1 sin theta_2$. Por supuesto, cuando las diferencias angulares son ambas $0$, la distancia se reduce a $||r_1-r_2||$.
Calificaciones y comentarios
Acuérdate de que tienes la capacidad de explicar tu experiencia si topaste tu escollo en el momento cronométrico.