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Solución:
Aquí hay un esquema de los pasos que debe seguir para resolver, casi, todos los sistemas de control analógico.
1) dibuje su diagrama de bloques con el controlador de retroalimentación en su lugar.
2) dibujar el sistema de lazo cerrado. (es decir, calcule la ecuación de lazo cerrado manteniendo Kd y Kp)
Sustituto:
$$ e^-st(s) = frac1-sT1+sT $$ Fuente: http://users.ece.utexas.edu/~buckman/H3.pdf
Esencialmente, un retraso de tiempo se puede modelar como un filtro de paso total. Tiene una respuesta de frecuencia plana y solo introduce retardo.
http://en.wikipedia.org/wiki/All-pass_filter
Cuando todas las matemáticas estén resueltas, deberías tener una ecuación de tercer orden en el denominador y una ecuación de segundo orden en el numerador.
Esto significa que debe introducir un filtro antes de que la unión sumadora del sistema elimine el polo. (debe ser el inverso del numerador)
3) Calcule la ecuación deseada para su sistema de circuito cerrado
Debe ser un sistema de segundo orden con las características deseadas y un sistema de primer orden con una encuesta no dominante. (es decir, 4 o más veces mayor que la magnitud de sus encuestas de segundo orden)
4) utilizando la ecuación calculada en 2, seleccione Kp y Kd que harían que su ecuación deseada coincidiera con la existente. (Combínalos término por término, así que mira el término S ^ 3, el término S ^ 2)
Resolviendo el problema
Comencemos insertando la sustitución mencionada anteriormente: $$ e^-st(s) = frac1-sT1+sT $$
Esto significa que nuestro sistema
$$ H_O(s) = fracks+afrac1-sT1+st $$
y (con un poco de magia matemática) reescribiendo nuestro controlador
$$ G(s) = fracK_Ps+K_I s $$
Esto conduce al sistema de circuito cerrado:
$$ H_C(s) =frac fracks+afrac1-sT1+sT 1+fracks+afrac1 -sT1+sTfracK_Ps+K_I s $$
Para simplificar la ecuación (pido disculpas si hay algún error matemático, todo es algebraico) siguiendo los siguientes pasos:
1) multiplicar el numerador y el denominador por $$ ((s+a)(1+sT)(s)) $$
2) Multiplicar todos los factores juntos
3) agrupar términos similares (todos los S ^ 3, S ^ 2, S, etc.)
4) normalice el término de mayor potencia en el denominador (debería dividir por T si lo hice correctamente)
su ciclo cerrado debería verse así (nuevamente, álgebra si hay errores, por favor dígame)
$$ fracfracKT(1-sT)(s) { s^3 + (frac1T + a – KK_p)s^2 + (fraca T + fracKK_PT +K_I)s+fracKK_IT $$
Podemos ver claramente que tenemos un sistema de tercer orden donde cada término puede controlarse configurando Kp y Kd.
Diseño de parámetros del controlador
Si bien no podemos seleccionar directamente los parámetros Kp y KI porque no tenemos los números para la función de transferencia del sistema, aún podemos obtener el 99% del camino sabiendo qué función de transferencia de la ecuación del sistema queremos.
Requisitos:
- Rebasamiento Menos del 10%
- Tiempo de subida de 2 segundos o menos
Consideraciones iniciales de diseño:
Ahora, supongamos que introdujimos un filtro en la entrada del sistema de control para eliminar el numerador (por lo que el numerador ahora es 1) (hay problemas con esto ya que la encuesta es inestable, se discutirá al final)
Podemos diseñar con precisión este tipo de sistema con una función de transferencia de tercer orden. Consiste en un sistema de segundo orden de polo dominante y un sistema de primer orden de polo no dominante.
Debe tener un aspecto como este:
$$ frac1(s^2 + 2 omega_n zeta *s + omega_n ^2)(s+alpha) $$
El sobreimpulso está controlado por el coeficiente de amortiguación, que es un número entre (0 y 1) (por lo general, no puede calcular esto fácilmente desde la parte superior de su cabeza … sin embargo, puede configurarlo alto para tener bajo sobreimpulso y sobreamortiguación). el sistema.
(En la mayoría de los sistemas, observa el margen de fase y usa el coeficiente de amortiguamiento que le dará un margen de fase de aproximadamente 65 grados)
El coeficiente de amortiguamiento se puede calcular mediante:
Donde PO es el porcentaje de sobreimpulso
para un 10% de sobreimpulso, termina con un coeficiente de amortiguación un poco menos de 0.6
las especificaciones de diseño dicen que tiene que ser menos del 10%, así que más grande es mejor, elijamos 0.6 para un número más fácil de trabajar:
$$ zeta = 0.6 $$
- ahora para nuestro sistema de segundo orden necesitamos w_n para terminar la ecuación:
- Necesitamos ver el segundo requisito: tiempo de subida de 2 segundos
- esto significa que el valor de estado estable debe alcanzarse en aproximadamente 2 segundos.
Nuestro polo está ubicado en w_nmojaduracoeff/2 (usa la ecuación cuadrática y lo verás)
El estado estacionario se alcanza en 4 veces la ubicación del polo. $$ 4fracomega_nzeta2 = 2 segundos $$
Lo que lleva a
$$ omega_n = 1.66666666666 $$
un valor más pequeño conduce a un tiempo de subida más rápido (el requisito de tiempo de subida es MENOS de 2 segundos)
elijamos 1.6 por simplicidad
ahora tenemos que elegir nuestra encuesta no dominante (es decir, seleccionar el término alfa), debe ser 4-5 veces más grande que la encuesta dominante más pequeña del sistema.
$$ alfa = 6.4 $$
Finalmente, tenemos nuestra función de transferencia deseada:
$$ frac1(s^2 + 2(1,6)(0,6)s + (1,6)^2)(s+6,4) $$
Cómo usar el controlador para obtener la función de transferencia de bucle cerrado deseada
multiplicar los términos en nuestro sistema de control deseado.
$$ frac1(s^3 + 8,325s^2 + 14,8485s+16,384) $$
Al desplazarnos hasta la parte superior de la página, tenemos nuestra función de transferencia del sistema:
$$ frac1 s^3 + (frac1T + a – KK_p)s^2 + (fracaT + fracKK_PT +K_I )s+fracKK_IT $$
(Recuerda que necesitabas normalizar la función de transferencia)
Ahora todo lo que necesita hacer es hacer coincidir los términos semejantes en ambas ecuaciones entre sí y hacer que el sistema de ecuaciones coincida:
por ejemplo:
el término S^2:
$$ (frac1T + a – KK_p) = 8.325 $$
el término S:
$$ (fracKK_PT +K_I) = 14,8485 $$
El término constante $$ fracKK_IT = 16.384 $$
usando estas ecuaciones puede resolver los parámetros K_I y K_P y acaba de diseñar su sistema de control.
Problemas con el prefiltro inestable
Recuerde que mencioné un problema de estabilidad:
$$ fracfracKT(1-sT)(s) { s^3 + (frac1T + a – KK_p)s^2 + (fraca T + fracKK_PT +K_I)s+fracKK_IT $$
si filtramos el numerador, eso significa que estamos usando un circuito de prefiltro que hace:
$$ P_f(s) = frac1 fracKT(1-sT)(s) $$
Este bloque de filtro se coloca ANTES (o después, técnicamente ambos funcionarían, aunque tradicionalmente es antes)
El problema viene de aquí:
$$ frac11-sT = frac-frac1Ts-frac1T $$
Esto significa que tenemos un polo POSITIVO en el sistema. Esto significa que, para una entrada de respuesta escalonada: El sistema volará hasta el infinito. Entonces, es una consideración de diseño seria para lo que realmente está sucediendo.
Cómo lidiar con eso… no estoy seguro… investigaré.
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