Solución:
Todas las matrices cuadradas de un tamaño dado $ n $ constituyen un espacio lineal de dimensión $ n ^ 2 $, porque a cada elemento de la matriz le corresponde un miembro de la base canónica, es decir, el conjunto de matrices que tienen un solo $ 1 $ y todos los demás elementos $ 0 PS
Las matrices asimétricas tienen elementos arbitrarios en un lado con respecto a la diagonal, y esos elementos determinan el otro triángulo de la matriz. Entonces están en el número de $ (n ^ 2-n) / 2 = n (n-1) / 2 $, ($ -n $ para eliminar la diagonal).
Para las matrices simétricas, el razonamiento es el mismo, pero tenemos que volver a sumar los elementos en la diagonal: $ (n ^ 2-n) / 2 + n = (n ^ 2 + n) / 2 = n (n + 1 ) / 2 $.
Aquí están mis dos centavos:
begin {eqnarray} M_ {n times n} ( mathbb {R}) & text {tiene forma} & begin {pmatrix} * & * & * & * & cdots \ * & * & * & * & \ * & * & * & * & \ * & * & * & * & \ vdots &&&& ddots end {pmatrix} hspace {.5cm} text {con $ n ^ 2 $ elementos} \ \ \ Skew_ {n times n} ( mathbb {R}) & text {tiene forma} & begin {pmatrix} 0 & * ‘& *’ & * ‘& cdots \ * & 0 & * ‘& *’ & \ * & * & 0 & * ‘& \ * & * & * & 0 & \ vdots &&&& ddots end {pmatrix} end {eqnarray} Para esta formación de fondo,
sy (* ‘) s son solo formas operativamente invertidas del mismo número, por lo que la matriz aquí solo toma $ frac {(n ^ 2 – n)} {2} $ elementos como argumento para describirlo. Esta parece ser una pregunta de geometría de matriz realmente … Supongo que si lo que estoy diciendo es cierto, entonces concluyo que porque $ dim (Skew_ {n times n} ( mathbb {R}) + Sym_ {n times n} ( mathbb {R})) = dim (M_ {n times n} ( mathbb {R})) $ y $ dim (Skew_ {n times n} ( mathbb {R} )) = frac {n ^ 2-n} {2} $ entonces tenemos que begin {eqnarray} frac {n ^ 2-n} {2} + dim (Sym_ {n times n} ( mathbb {R}))) = n ^ 2 end {eqnarray} o begin {eqnarray} dim (Sym_ {n times n} ( mathbb {R}))) = frac {n ^ 2 + n } {2}. end {eqnarray}
Esto es un poco tarde, pero pensé que intervendría ya que las otras respuestas realmente no dan la intuición combinatoria solicitada en la pregunta original.[email protected]Para especificar una matriz simétrica sesgada, necesitamos elegir un número $ A_ {ij} $ para cada conjunto $ {i, j } $ de índices distintos. ¿Cuántos conjuntos de este tipo hay? La combinatoria nos dice que hay $ left ( begin {array} {@ {}
{}} n \ 2 end {matriz} right) = frac {n (n-1)} {2} $ tales conjuntos.[email protected]De manera similar, para especificar una matriz simétrica, necesitamos elegir un número $ A_ {ij} $ para cada conjunto $ {i, j } $ de índices (no necesariamente distintos). Podemos codificar tales conjuntos agregando un símbolo especial $ n + 1 $ que indica un índice repetido. Por lo tanto, debemos elegir un número $ A_ {ij} $ para cada conjunto $ {i, j } $ de símbolos distintos, donde ahora un símbolo es un índice ($ 1, ldots, n $) o nuestro símbolo especial $ n + 1 $ que se utiliza para un índice repetido. La combinatoria nos dice que hay $ left ( begin {array} {@ {}
{}} n + 1 \ 2 end {matriz} right) = frac {n (n + 1)} {2} $ tales conjuntos.