Traemos la mejor respuesta que descubrimos en línea. Esperamos que te sea de utilidad y si deseas compartir algo que nos pueda ayudar a mejorar hazlo con libertad.
Solución:
En álgebra no conmutativa, la dimensión de Krull ha sido generalizada por Gabriel & Rentschler. Se puede encontrar una descripción decente en el Capítulo 6 del libro de McConnell y Robson sobre anillos noetherianos no conmutativos.
La idea básica es la siguiente: Un módulo artiniano tiene dimensión Krull 0.
Un módulo que no tiene dimensión de Krull 0 tiene dimensión de Krull 1 si en cada cadena descendente infinita de submódulos todos menos un número finito de factores de composición tienen dimensión de Krull 0.
Un módulo que no tiene la dimensión de Krull 0 o 1 tiene la dimensión de Krull 2 si en cada cadena descendente infinita de submódulos todos excepto un número finito de factores de composición tienen la dimensión de Krull 0 o 1.
La definición continúa para todos los ordinales finitos (y puede extenderse a todos los ordinales). Entonces la dimensión de Krull de un anillo R es la dimensión de Krull de R como módulo sobre sí mismo.
En un anillo no conmutativo, debe tener cuidado con lo que quiere decir con un ideal primo y, por lo general, hay muy pocos ideales de dos lados que podría llamar primos. Ah, e incluso en los casos en que hay un buen anillo de fracciones, no será un campo, por lo que el grado de trascendencia sigue siendo malo.
Mi noción personal favorita de dimensión es ‘dimensión global’, la máxima dimensión proyectiva de cualquier módulo del anillo. Este concepto existe para cualquier anillo y, de hecho, para cualquier categoría abeliana (aunque, si no hay suficientes proyectivos, debe jugar con la definición). El único problema es que a menudo puede ser infinito, incluso para anillos relativamente suaves, como C[x]/x^2. Sin embargo, sigue siendo una teoría bastante buena de la “dimensión suave”.
Desde una perspectiva conceptual, la dimensión de Krull parece más adecuada para las perspectivas geométricas, ya que mide cadenas de subconjuntos cerrados irreducibles. Los momentos más fáciles para trabajar con la dimensión de Krull son cuando estás en un anillo de Cohen-Macaulay, y luego la dimensión de Krull es equivalente a la profundidad, lo cual es más fácil de probar, ya que solo necesitas producir una secuencia regular máxima.
A menudo, la dimensión más útil en álgebra no conmutativa es la longitud de la resolución inyectiva mínima del anillo como un módulo sobre sí mismo. En muchos casos importantes esto es lo mismo que la dimensión global cuando esta última es finita, pero es más robusta porque es finita más a menudo. En un anillo noetheriano conmutativo es lo mismo que la dimensión de Krull cuando es finita.