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Diferenciación parcial vs. total, distinción básica

Nuestros desarrolladores estrellas agotaron sus provisiones de café, por su búsqueda diariamente por la resolución, hasta que Juan halló la contestación en Gitea y hoy la compartimos con nosotros.

Solución:

A derivada parcial ($fracf parcialt parcial$) de un multivariable función de varias variables es su derivada con respecto a una de esas variables, manteniendo constantes las otras.

Sea $f(t,x)=t^2 + tx + x^2$. Entonces $$fracf parcialt parcial = 2t + x + 0$$

Por otro lado, el derivada total ($fracmathrm dfmathrm dt$) se toma asumiendo que todas las variables pueden variar. Entonces

$$fracmathrm dfmathrm dt =fracf parcialpartial tfrac mathrm dtmathrm dt + fracf parcialparcial xfrac mathrm dxmathrm dt$$

Por lo tanto, si $f(t,x)=t^2 + tx + x^2$ y $frac mathrm dxmathrm dt=t^3$, entonces $$fracmathrm df dt matemático =(2t +x) + (2x+t)(t^3)$$

Por supuesto, si la función es función de una sola variable, entonces las derivadas totales y parciales son las mismas.

La diferenciación parcial se usa cuando el dominio de la función se define en un conjunto de productos cartesianos. Supongamos que $f : E times F to F$ con $(x,y) mapsto f(x,y)$ entonces tienes dos diferenciaciones parciales para separar la derivada contra la primera variable a saber $fracpartial fparcial x$ frente a la segunda variable $fracparcial fparcial y$. Si el dominio no es un producto cartesiano (como en su ejemplo), entonces la diferenciación parcial y total coinciden.

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