Después de mucho batallar pudimos hallar el resultado de esta incógnita que muchos lectores de nuestro espacio han tenido. Si tienes algo más que aportar no dejes de compartir tu conocimiento.
Solución:
A constante es algo así como un “número”. No cambia a medida que cambian las variables. Por ejemplo $3$ es una constante como lo es $pi$.
A parámetro es una constante que define una clase de ecuaciones. $$left(frac xaright)^2 + left(frac ybright)^2 = 1$$ es la ecuación general de una elipse. $a$ y $b$ son constantes en esta ecuación, pero si queremos hablar de toda la clase de elipses, entonces también son parámetros, porque aunque son constantes para cualquier especial elipse, pueden tomar cualquier valor real positivo.
A variable es un elemento del dominio o codominio de una relación. Recuerda que las funciones son solo relaciones, por lo que la entrada y la salida de las funciones son variables. Por ejemplo, si hablamos de la función $x mapsto ax +3$, entonces $x$ es una variable y $a$ es un parámetro, y por lo tanto una constante. $3$ también es una constante pero no es un parámetro.
Una variable “conocida” es típicamente un valor que las condiciones del problema dictan la variable deber tomar. Por ejemplo, si estamos discutiendo la caída libre de un objeto, entonces la aceleración es una variable. Pero la física impone una restricción sobre el valor que puede tomar esa variable: la aceleración en caída libre es $a=gapprox 9.8$. Por lo tanto, aunque $a$ puede definirse como la entrada de una función, deber tomar un valor “conocido”. Por lo tanto, es una variable conocida.
El teorema de Pitágoras establece que $a^2 + b^2 = c^2$ para los lados $a,b$ y la hipotenusa $c$ de un triángulo rectángulo. Estos son parámetros, por lo que también son constantes.
Todos son el mismo tipo de cosas en diferentes niveles de abstracción/generalización. Establecer un valor crea una versión más especializada (menos general) del objeto matemático (función, problema de optimización, etc.), y reemplazar un valor previamente definido exactamente por un símbolo crea un problema generalizado (que cubre toda una familia de problemas específicos) .
- Si establece $a$ en algún valor en $ax+3$, obtendrá una versión más específica, por ejemplo, $5x+3$. Si además establece $x$ en algún valor, obtiene un número específico, como $5cdot 6 + 3$.
- En la otra dirección, si convierte $ax+3$ en $ax+t$, puede representar toda una familia de funciones (parametrizadas) que incluyen $ax+8$ y $ax+1$.
$t$ es el parámetro de nivel más alto, $a$ es uno más bajo y $x$ es el más bajo. Dado que generalmente solo usamos algunos de estos niveles a la vez, nos gusta usar nombres para ellos en lugar de simplemente decir el parámetro “nivel superior”. Las variables suelen ser aquellas que se ajustan en el nivel más bajo, los parámetros están un nivel por encima y las constantes son aquellas que no cambiamos ni ajustamos en nuestra tarea actual, pero podrían convertirse en parámetros de nivel aún más alto (llamados hiperparámetros) si queríamos generalizar aún más nuestro problema u objeto.
Cualquier función con múltiples parámetros se puede convertir en una función de nivel superior que solo toma un parámetro y le brinda una nueva función que ahora toma un parámetro menos que el original. Esto se llama curry. Entonces su $f(a,x)=ax+3$ se puede convertir en una función que da una nueva función para cada $a$:
$$ F = (a mapsto (x mapsto (ax+3))) $$
Entonces F(7) sería una función en sí misma, $7x+3$.
Si está familiarizado con la programación, también es similar al ámbito de las variables, es decir, que los valores se definen en contextos anidados. La programación funcional utiliza estos conceptos aún más.
El parámetro que coloque en qué nivel depende del problema actual en cuestión y el mismo problema a menudo se puede analizar de varias maneras, es decir, intercambiando parámetros entre niveles (como en nuestro ejemplo, interpretando $a$ como el más bajo y $x$ como el parámetro de nivel superior).