Después de consultar con especialistas en la materia, programadores de diversas áreas y profesores dimos con la solución al problema y la dejamos plasmada en este post.
Solución:
De acuerdo a lo pedido:
Usemos el problema de valor inicial de ejemplo
$$y^prime y=-x,qquad y(0)=r, qquad rtextconstante$$
Se puede derivar una solución tanto implícita como explícita para esta ED. los implícito la solución a esta DE es
$$x^2+y(x)^2=r^2$$
Esta solución implícitamente define $y(x)$; todo lo que tenemos aquí es una ecuación que implica $y(x)$. Por otro lado, la solución explícita parece
$$y(x)=pmsqrtr^2-x^2$$
y en este caso, $y(x)$ es explícitamente definido: $y(x)$ se expresa aquí como una función explícita con $x$ como la única variable independiente.
No siempre tenemos tanta suerte cuando resolvemos ecuaciones diferenciales que aparecen en la práctica. A menudo sucede que solo podemos contentarnos con una solución implícita (o una solución paramétrica, que es algo mejor que tener solo una solución implícita). Un ejemplo famoso es la ecuación diferencial que aparece en el problema de la braquistocrona:
$$(1+(y^prime)^2)y=r^2$$
La solución explícita es una solución donde la variable dependiente se puede separar. Por ejemplo, $x+2y=0$ es explícito porque si y es dependiente, puedo reescribirlo como $y=-fracx2$ y mi y se ha separado.
Implícito es cuando la variable dependiente no se puede separar como $sin(x+e^y)=3y$.
Eres capaz de añadir valor a nuestra información dando tu experiencia en las anotaciones.