Solución:
Piense en un sistema mecánico simple como una barra elástica o un bloque unido a un resorte contra la gravedad, en el mundo real. Siempre que le des un pulso al sistema (al bloque oa la barra), comenzarán una oscilación y pronto dejarán de moverse.
Hay formas de analizar un sistema como este. Las dos formas más comunes son:
-
Solución completa = solución homogénea + solución particular
-
Respuesta completa = respuesta natural (entrada cero) + respuesta forzada (estado cero)
Como el sistema es el mismo, ambos deberían resultar en la misma ecuación final que representa el mismo comportamiento. Pero puede separarlos para comprender mejor lo que cada parte significa físicamente (especialmente el segundo método).
En el primer método, piensas más desde el punto de vista de un sistema LTI o una ecuación matemática (ecuación diferencial) donde puedes encontrar su solución homogénea y luego su solución particular. La solución homogénea puede verse como una respuesta transitoria de su sistema a esa entrada (más sus condiciones iniciales) y la solución particular puede verse como el estado permanente de su sistema después / con esa entrada.
El segundo método es más intuitivo: respuesta natural significa cuál es la respuesta del sistema a su condición inicial. Y la respuesta forzada es la respuesta del sistema a esa entrada dada, pero sin condiciones iniciales. Pensando en términos de ese ejemplo de barra o bloque que di, puedes imaginar que en algún momento empujaste la barra con tus manos y la sostienes ahí. Este puede ser tu estado inicial. Si simplemente lo suelta, oscilará y luego se detendrá. Esta es la respuesta natural de su sistema a esa condición.
También puede dejarlo ir, pero sigue dando un poco de energía extra al sistema al golpearlo repetidamente. El sistema tendrá su respuesta natural como antes, pero también mostrará un comportamiento adicional debido a sus golpes adicionales. Cuando encuentre la respuesta completa de su sistema mediante el segundo método, podrá ver claramente cuál es el comportamiento natural del sistema debido a esas condiciones iniciales y cuál es la respuesta del sistema si solo tuviera la entrada (sin condiciones iniciales). Ambos juntos representarán todo el comportamiento del sistema.
Y tenga en cuenta que la respuesta de estado cero (respuesta forzada) también puede consistir en una parte “natural” y una parte “particular”. Esto se debe a que incluso sin condiciones iniciales, si le da una entrada al sistema, tendrá una respuesta transitoria + respuesta de estado permanente.
Respuesta de ejemplo: imagina que tu ecuación representa el siguiente circuito:
Cuál su salida y (t) es la corriente del circuito. E imagina que tu fuente es una fuente de CC de + 48v. De esta manera, al hacer la suma del voltaje del elemento en este camino cerrado, se obtiene:
$ epsilon = V_L + V_R $
Podemos reescribir el voltaje del inductor y el voltaje de la resistencia en términos de corriente:
$ epsilon = L frac di dt + Ri $
Si tenemos una fuente de energía de + 48VDC y L = 10H y R = 24Ohms, entonces:
$ 48 = 10 frac di dt + 24i $
que es exactamente la ecuación que usaste. Entonces, claramente su entrada al sistema (circuito RL) es su fuente de alimentación de + 48v solamente. Entonces tu entrada = 48.
Las condiciones iniciales que tiene son y (0) = 5 e y ‘(0) = 0. Físicamente representa que en el momento = 0, mi corriente del circuito es 5A pero no varía. Puede pensar que algo sucedió anteriormente en el circuito que dejó una corriente en el inductor de 5A. Entonces, en ese momento dado (momento inicial) todavía tiene esos 5A (y (0) = 5) pero no aumenta ni disminuye (y ‘(0) = 0).
Resolviéndolo:
primero asumimos la respuesta natural en el formato: $ Ae ^ st $
y luego encontraremos el comportamiento del sistema debido a su condición inicial, como si no tuviéramos fuente de alimentación ( $ epsilon = 0 $) que es la respuesta de entrada cero:
$ 10sAe ^ st + 24Ae ^ st = 0 $
$ Ae ^ st (10 s + 24) = 0 $
$ s = -2,4 $
Entonces,
$ i_ ZI (t) = Ae ^ – 2.4t $
Como sabemos que i (0) = 5:
$ i (0) = 5 = Ae ^ – 2.4 (0) $
$ A = 5 $
$ i_ ZI (t) = 5e ^ – 2.4t $
Tenga en cuenta que hasta ahora todo es coherente. Esta última ecuación representa la respuesta del sistema sin entrada. Si pongo t = 0, encuentro i = 5 que corresponde a la condición inicial. Y si pongo $ t = + infty $ Encontraré i = 0, lo que también tiene sentido si no tengo ninguna fuente.
Ahora podemos encontrar la solución particular a la ecuación que representará el estado permanente debido a la presencia de la fuente de alimentación (entrada):
asumimos ahora que $ i (t) = c $ dónde $ c $ es un valor constante que representa la salida del sistema en el estado permanente, ya que la entrada también es una constante. Para cada sistema, el formato de salida depende del formato de entrada: si la entrada es una señal sinusoidal, la salida también lo será. En este caso solo tenemos valores constantes lo que facilita las cosas.
Entonces,
$ frac di dt = 0 $
luego,
$ 48 = 0.10 + 24c $ (usando la ecuación diferencial)
$ c = 2 $
$ i ( infty) = 2 $
lo que también tiene sentido porque tenemos una fuente de alimentación de CC. Entonces, después de la respuesta transitoria de encender la fuente de alimentación de CC, el inductor se comportará como un cable y tendremos un circuito resistivo con R = 24Ohms. Entonces deberíamos tener 2A de corriente ya que la fuente de alimentación tiene 48V a través de ella.
Pero tenga en cuenta que si solo agrego ambos resultados para encontrar la respuesta completa, tendremos:
$ i (t) = 2 + 5e ^ – 2.4t $
Ahora arruiné las cosas en el estado transitorio porque si pongo $ t = 0 $ ya no encontraremos $ i = 5 $ como antes. Y nosotros tengo encontrar $ i = 5 $ cuando $ t = 0 $ porque es una condición inicial dada. Esto se debe a que la respuesta de estado cero tiene un término natural que no está allí y también tiene el mismo formato que encontramos antes. Agregándolo allí:
$ i (t) = 2 + 5e ^ – 2.4t + Be ^ st $
La constante de tiempo es la misma por lo que solo nos dejó B:
$ i (t) = 2 + 5e ^ – 2.4t + Be ^ – 2.4t $
Y sabemos que:
$ i (t) = 2 + 5 + B = 5 $ (t = 0)
Entonces,
$ B = -2 $
Entonces, su solución completa es:
$ i (t) = 2 + 5e ^ – 2.4t – 2e ^ – 2.4t $
puede pensar en este último término que encontramos como un término de corrección de la respuesta forzada para que coincida con las condiciones iniciales. Otra forma de encontrarlo es imaginando el mismo sistema pero no sin condiciones iniciales. Luego, resolviendo todo el camino nuevamente, tendríamos:
$ i_ ZS (t) = 2 + Ae ^ – 2.4t $
Pero como ahora no estamos considerando las condiciones iniciales (i (0) = 0), entonces:
$ i_ ZS (t) = 2 + Ae ^ – 2.4t = 0 $
Y cuando t = 0:
$ A = -2 $
entonces el forzado La respuesta (de estado cero) de su sistema es:
$ i_ ZS (t) = 2 – 2e ^ – 2.4t $
Es un poco confuso, pero ahora puedes ver las cosas desde diferentes perspectivas.
-Soluciones homogéneas / particulares:
$ i (t) = i_p (t) + i_n (t) = 2 + 3e ^ – 2.4t $
El primer término (2) es la solución particular y representa el estado permanente. El resto del lado derecho es la respuesta transitoria, también llamada solución homogénea de la ecuación. Algunos libros llaman a esto también Respuesta natural y Respuesta forzada ya que la primera parte es la parte forzada (debido a la fuente de alimentación) y la segunda parte es la parte transitoria o natural (característica del sistema). Creo que esta es la forma más rápida de encontrar la respuesta completa, porque solo tienes que encontrar el estado permanente y una respuesta natural una vez. Pero puede que no quede claro qué representa qué.
-Entrada cero / estado cero:
$ i (t) = i_ ZS (t) + i_ ZI (t) = 2 – 2e ^ – 2.4t + 5e ^ – 2.4t $
tenga en cuenta que es la misma ecuación pero el segundo término se divide en dos. Ahora, los dos primeros términos ( $ 2 – 2e ^ – 2.4t $) representan la respuesta de estado cero. En otras palabras, ¿qué pasaría con el sistema si no hubiera corriente inicial y usted ENCENDIERA la fuente de alimentación de + 48V?
La segunda parte ( $ 5e ^ – 2.4t $) representan la respuesta de entrada cero. Le muestra lo que sucedería con el sistema si no se proporcionó ninguna entrada (la fuente de alimentación se mantuvo en 0v). Es solo un término exponencial que iría a cero ya que no tiene entrada.
Algunas personas también lo llaman formato de respuesta Natural / Forzado. La parte natural sería Zero-Input y la parte Forzada sería el Zero-State, que por cierto está compuesto por un término natural y un término particular.
Nuevamente, todos le darán el mismo resultado que representa el comportamiento de la situación completa, incluida la fuente de energía y las condiciones iniciales. Solo tenga en cuenta que en algunos casos puede resultar útil utilizar el segundo método. Un buen ejemplo es cuando está utilizando convoluciones y puede encontrar la respuesta de impulso a su sistema con Zero-State. Entonces, romper esos términos podría ayudarlo a ver las cosas con claridad y también a usar un término adecuado para convolucionar.
¿Cómo puede haber siquiera una respuesta natural? ¿Se debe ingresar algo para crear una salida?
Si ayuda, piense en la respuesta natural como la forzado respuesta a una entrada de impulso.
A mi modo de ver, es como abrir la línea principal de agua y luego abrir el grifo y esperar que salga agua.
Imagine que la tubería principal de agua está conectada a un tanque de retención grande como el que se usa en los sistemas de agua de pozo y cierra la válvula de la tubería principal de agua.
El tanque se ha llenado de agua y está presurizado a la presión principal de agua antes de cerrar la válvula. Este es el condición inicial.
Si abre el grifo, saldrá agua. El tanque de retención entregará agua durante un período de tiempo, a medida que el tanque de retención se vacía y la presión en el grifo descenderá. Este flujo menguante de agua y la caída de presión serían los natural respuesta del sistema.
Ahora, después de vaciar el tanque de retención, abre rápidamente la válvula principal de agua mientras el grifo aún está abierto.
La mayor parte del flujo de agua es inicialmente para “cargar” el tanque de retención y, a medida que el tanque se llena y la presión aumenta, el agua fluye a un ritmo creciente desde el grifo hasta que el el tanque está lleno y el flujo y la presión se estabilizan.
Este es el forzado respuesta a un entrada de paso.
Este es el problema con los libros de texto que no definen claramente todo para que todos puedan entender las definiciones. La respuesta natural realmente está hablando de un sistema que se había ‘cargado’ (en algún momento) de manera que los elementos de almacenamiento de energía contienen cierta cantidad de energía inicial, que podría traducirse en un voltaje inicial en un capacitor o una corriente inicial en un inductor. Estos dan como resultado los valores de condición inicial para condensadores o inductores. Luego, en el momento t = 0, se asume que la fuente mágica que fue responsable de energizar el circuito, se elimina instantáneamente. Entonces, si la fuente mágica hubiera sido una fuente de voltaje, entonces ‘removerla’ podría significar removerla físicamente o apagarla del circuito. Entonces, en el tiempo t = 0, la respuesta natural será simplemente el comportamiento de tal vez una corriente a través de un inductor o capacitor, o voltaje a través de un capacitor o inductor. Y el circuito está alimentado solo por los componentes cargados inicialmente (porque asumimos que no hay entrada de fuente ‘externa’ para el tiempo t = 0 en adelante).
Entonces, para la respuesta natural, realmente es un caso en el que “una vez hubo” alguna entrada externa para producir las condiciones iniciales en los inductores y condensadores. Ahora bien, si el sistema no estuviera cargado desde el principio, de modo que todos los voltajes y corrientes de los condensadores e inductores fueran cero para empezar, ¿cuál sería la respuesta natural del sistema? Respuesta: cero.
Ahora, la respuesta forzada es la respuesta de un circuito (como un comportamiento de voltaje o comportamiento de corriente) para el caso en el que asumimos que los inductores y condensadores no tienen energía inicial para empezar, lo que significa que no hay voltaje inicial o corrientes iniciales en estos componentes. . Y luego, de repente, aplicamos una fuerza externa (fuente) a la entrada del circuito. El comportamiento de las corrientes y / o voltajes del circuito para este escenario solo recibe un nombre … llamado respuesta forzada. Básicamente, es una respuesta a una entrada de fuente basada en la suposición de que comenzamos con condiciones iniciales de energía CERO en inductores y condensadores.
Una vez que hemos usado métodos para obtener convenientemente la respuesta natural y la respuesta forzada, simplemente sumamos ambas partes para obtener la imagen completa. Algo parecido al principio de superposición.